Кравченко. Практикум

242	21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Потребляемая мощность

Pïîòð U1 I1 U2 I2 I3 U3 I4 U4 I5 U5

Pïîòð 26.064

Ответ: I1 1.325 À, I5 0.27À.

Пример текста рабочего документа Mathcad с решением задачи относительно токов ветвей:

Исходные данные
E 12	R2 4	R3 6	R4 12	R5 2

1.При решении задачи в качестве независимых переменных выберем токи ветвей

2.Ввод таблицы ВАХ НЭ

Uíý ( 0 4 10 16)T

Iíý ( 0 1 2 2.5 )T

Uíн(IIнí))			R2
Uí		I5	U2
I1	U5	R
		5	I	2
R
	I3	I4	R
3			4
U3			U4
E			IE

3. Инструмент получения функции (напряжения в данном случае) по независимой переменной (току нелинейного резистора)

U1 I1 interp cspline(Iíý Uíý) Iíý Uíý I1

4. Определение начальных приближений независимых переменных

I1 1	I2 1	I3 1	I4 1	I5 1
5. Решение системы		уравнений с помощью
вычислительного блока

Given

I1 I5 I2 0

I3 I4 I5 0

U1 I1 I5 R5 I3 R3 0

I2 R2 I4 R4 I5 R5 0

I4 R4 I3 R3 E 0

Система линейных и нелинейных уравнений, составленная по законам Кирхгофа, относительно независимых переменных (в данном случае - токов). Здесь применяется оператор

логического равенства (панель Boolen).

243

IFind I1 I2 I3 I4 I5

6.Вывод результата:

	IT ( 1.358	1.615 0.838 0.581 0.257 )
I1	1.358	I2 1.615	I3 0.838	I4 0.581
I5	0.257
Ток в ветви с эдс
	IE I2 I4	IE 2.196
	7. Определим	напряжения	ветвей по найденным токам
U1 U1 I1		U2 I2 R2	U3 I3 R3	U4 R4 I4	U5 R5 I5
	U1 5.544	U2 6.46	U3 5.028	U4 6.972	U5 0.514

8.Проверим соблюдение баланса мощности Генирируемая мощность

Pãåí E IE

Pãåí 26.352

Потребляемая мощность

Pïîòð U1 I1 U2 I2 I3 U3 I4 U4 I5 U5

Pïîòð 26.357

Ответ: I1 1.325 À, I5 0.27 À.

Задача 21.4

В цепи (рис. 21.11) известно: Е = 80 В; r = 10 кОм; ВАХ НЭ с односторонней проводимостью аппроксимирована соотношением

Iн aUн bUн2 ,

244	21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I	r		в котором	b = 0,04 мА/В2.
E			a = 0,3 мА/В;
	Uн	Uн(Iн)	Определить Iн, Uн.
			Решение
	Рис. 21.11		На основании второго закона Кирхгофа для рас-
			сматриваемой цепи
			E Ir Uн .	(1)

С учетом того, что
I Iн aUн bUн2 ,	(2)

выражение (1) с помощью соотношения (2) может быть разрешено относительно напряжения на НЭ:

E Ir Uн (aUн bUн2)r Uн .

(3)

Из (3) следует:

2

1 ar

E

Uн

Uн

0.

(4)

br

br

Корни квадратного уравнения (4):

Uн

1 ar

1 ar 2

E

1 0,3 10 3

104

2br

br

2 0,04 10 3

104

2br

1 0,3 10 3 104

2

80

5 15 В,

3

4

3

4

10

0,04 10

10

2 0,04 10

т. е. Uн 10 В, Uн 20 В.

Решение Uн 20 В невозможно из физических соображений,

так как

НЭ в исследуемой цепи обладает односторонней проводимостью (для

Uн 0

ток I 0). Поэтому

Uн 10 В.

Ток в цепи может быть найден из аппроксимирующего выражения (2)

I Iн aUн bUн2 0,3 10 3 10 0,04 10 3 102

7 мA.

Ответ: Uн 10 В; I

7 мA.

245

Задача 21.5

В цепи (рис. 21.12) известно:

Е = 450 В; R0 = 1000 Ом;

ВАХ НЭ1 и НЭ2 приведены в табл. 21.4и 21.5. Определить токи во всех ветвях цепи.

Uн1(Iн1) Uн2(Iн2)

I0

I	1	r	I3
		0
	I2Uн2(Iн2)		Uн1(Iн1) I4
	I		E

Рис. 21.12

Таблица 21.4

	Uн1, В	0		50		75		200
	Iн1, мА	0		125		175		275
							Таблица 21.5
Uн2, В			0		100		250		425
Iн2, мА			0		50		150		300

Решение

Первый способ

Расчет данной цепи можно проводить аналитическим методом с использованием замены нелинейных элементов эквивалентными линейными схемами (графический метод здесь неприемлем, поскольку цепь не является по- следовательно-параллельной).

1. Представление нелинейного элемента НЭ1 эквивалентной схемой за-

мещения на основе аппроксимации нелинейной ВАХ Iн1(Uн1) линейной характеристикой (рис. 21.13).

В интервале линеаризации нелинейной характеристики уравнение аппроксимирующей функции имеет вид

Uн1 E01 Iн1rd1,

где

E	150 В; r		E01		150	1250 Ом.
					120 10 3
01	d1		I

В соответствии с уравнением аппроксимирующей функции схема замещения НЭ1 принимает вид, изображенный на рис. 21.14.

246	21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

	Iн1	мА
	300
	200						E01	rd1	I1
	100
					I			U1
							Uн1
100	50	0	50	100	150	200	В
E01
	Рис. 21.13							Рис. 21.14

2. Замена НЭ2 линейной схемой замещения на основе аппроксимации нелинейной ВАХ Iн2(Uн2) линейной характеристикой (рис. 21.15).

В интервале линеаризации нелинейной характеристики уравнение аппроксимирующей функции имеет вид

		Uн2 E02 Iн2rd2 ,
	где			U2		250
	E 100 В;	r					1100 Ом.
				I2		227 10 3
	02	d2

Аппроксимирующей функции соответствует схема замещения НЭ2, представленная на рис. 21.16.

Iн2	мА
300
200			I2		E02	rd2	I2
100
						U2
				Uн2
0
		200	400	600	В
	E02
		U2

Рис. 21.15 Рис. 21.16

2.Эквивалентная линейная схема замещения исходной цепи (рис. 21.17) и

еепараметры: Е = 450 В; Е01 = 150 В; E02 = 100 В; rd1 = 1250 Ом; rd2 = 1100 Ом; r0 = 1000 Ом.

247

3. Расчет линейной цепи (рис. 21.17) рационально осуществлять методом узловых потенциалов.

E01	r	E02	r
	d1	a	d2
		I0
I		r		I3
1		0
E02	rd2	E01	r	I4
I2			d1
c		b		d
	I	E
		Рис. 21.17

Пусть d = 0. Тогда с = Е = 450 В (с учетом того, что ветвь c–d идеальная). Уравнения для потенциалов узлов a и b:

			1
		a
					r
			d1
			1
			b
			rd1

или в цифровой форме

1

1

1

1

E

E

01

02

,

r

r

r

c r

r

b

r

d2

0

0

d1

d1

d2

1

1

1

1

E

E

a

c

01

02

r

r

r

r

r

r

d2

0

0

d2

d1

d2

			1					1					1								1				150					100					450		,
	a																	b
			1250					1100													1000			1250				1100					1250
													1000
			1					1					1				a				1					150					100					450		.
b					1100					1000									1000					1250 1100 1100
	1250
Из решения системы уравнений следует: a = 276 В;																																b= 175 В.

Токи в ветвях эквивалентной линейной схемы замещения могут быть найдены с помощью обобщенного закона Ома:

I0 a b 276 175 0,101А; r0 1000

I1 c a E01 450 276 150 0,259А; rd1 1250

248

21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I2

c b E02

450 175 100

0,159А;

rd2

1100

I3

a d E02

276 0 100

0,16А;

rd2

1100

I4

b d E01

175 0 150

0,26А;

rd1

1250

I = I1+ I2 = 0,259 + 0,159 = 0,418 А.

Проверка расчета Найденные значения токов в нелинейных элементах должны находиться в

пределах линеаризированных участков ВАХ НЭ (в противном случае необхо-

димо повторить расчет с использованием новой линеаризации исходных ВАХ в районе найденных значений токов).

Границы линеаризированного участка ВАХ НЭ1 по току:

0,175 A I1;I4 0,275 A.

Найденные значения токов: I1 = 0,259 А; I4 = 0,26 А. Границы линеаризированного участка ВАХ НЭ2 по току:

0,15 A I2;I3 0,3 A.

Найденные значения токов: I2 = 0,159 А; I3 = 0,16 А.

Поскольку значения рассчитанных токов во всех нелинейных элементах рассматриваемой цепи находятся в пределах линеаризации исходных ВАХ, расчет выполнен верно.

Ответ: I = 0,418 А; I1 =0,259 А; I2 =0,159 А; I3 = 0,16 А; I4 = 0,26 А; I0 = 0,101 А.

Второй способ

Решение задачи с использованием программы MathCad. (Алгоритм решения задачи приведен в основных сведениях.)

Пример текста рабочего документа MathCad:

249

Исходные данные

E 450 R0 1000

1.При решении задачи в качестве независимых переменных выберем токи ветвей

2.Ввод таблицы ВАХ первого НЭ

Uíý1 (0 50 75 200)T

Iíý1 (0 0.125 0.175 0.275)T

Ввод таблицы ВАХ второго НЭ

Uí 1(Ií 1)		a Uí	2(Ií2)

	U1	I0		U3
I1		R0	U0		I3
I2	Uí 2(Ií 2)		Uí 1(Ií 1) I4		d
c		b
				U4
	U2	E
	I

Uíý2 ( 0 100 250 425 )T

Iíý2 ( 0 0.05 0.15 0.3 )T

3. Инструмент получения функции (напряжения ) по независимой переменной (току) для четырех нелинейных резисторов

U1 I1		interp cspline(Iíý1 Uíý1) Iíý1 Uíý1 I1
U2 I2		interp cspline(Iíý2 Uíý2) Iíý2 Uíý2 I2
U3 I3		interp cspline(Iíý2 Uíý2) Iíý2 Uíý2 I3
U4 I4		interp cspline(Iíý1 Uíý1) Iíý1 Uíý1 I4
4. Определение начальных приближений независимых переменных
I0 1		I1 1			I2 1	I3 1	I4 1
5. Решение системы					уравнений с помощью
вычислительного блока
	Given					Система линейных и нелинейных уравнений,
I1	I0	I3		0		составленная по законам Кирхгофа, относительно
						независимых переменных (в данном случае - токов).
I2	I0	I4		0		Здесь применяется оператор
						логического равенства (панель Boolen).

250	21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

U1 I1 I0 R0 U2 I2 0

U3 I3 U4 I4 I0 R0 0

U2 I2 U4 I4 E 0

IFind I0 I1 I2 I3 I4

6.Вывод результата:

IT ( 0.095 0.263 0.168 0.168 0.263)

I0 0.095	I1 0.263		I2 0.168	I3 0.168	I4 0.263
Ток в ветви с эдс
IE I1 I2		IE 0.431
7. Определим	напряжения ветвей по найденным токам
U0 I0 R0		U1 U1 I1	U2 U2 I2	U3 U3 I3	U4 U4 I4
U0 95		U1 177.373	U2 272.299	U3 272.299	U4 177.373

8.Проверим соблюдение баланса мощности Генирируемая мощность

Pãåí E IE		Pãåí 193.95
Потребляемая мощность
Pïîòð	U1 I1 U2 I2 I3 U3 I4 U4 I0 U0
Pïîòð	193.816
Ответ:	I0 0.095 A, I1 0.263 A, I2 0.168 A, I3 0.168 A,
	I4 0.263 A,IE 0.431 A

251

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 21.6

Uн (Iн )

r2

В схеме (рис. 21.18)

I0

r1 =r2 =2400 Ом;

r0

0,2

r1

Uн(Iн)

Uн(Iн) 280Iн

.

Определить величину входного напряжения, при

Uвх

котором мостовая схема будет уравновешена.

Рис. 21.18

Ответ: Uвх = 328 В.

Задача 21.7

Uн(Iн)

В цепи (рис. 21.19)

Iн

U = 150 В;

r = 100 Ом;

r

= 400 Ом; ВАХ НЭ за-

вх

1

2

дана табл. 21.6.

Uн

r2

Таблица 21.6

Uн

В

0

20

40

100

140

r1

Iн

А

0

0,18

0,3

0,5

0,6

Uвх

Определить мощность в нелинейном элементе.

Рис. 21.19

Ответ: Pн = 38 Вт.

Задача 21.8

В цепи (рис. 21.20)

E1 = 6,5 В;

E3 = 5,4 В; r3 = 2,5 Ом;

ВАХ НЭ задана табл. 21.7.

I1

I3

Uн1(I1)

I

2

r

3

E1 Uн2(I2) E3

Рис. 21.20