Кравченко. Практикум

212	19. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Решение

i2(t) i2пр i2св .

1.Принужденная составляющая искомого тока (определяется с помощью символического метода):

E

r

j 1

I

2пр

3

C

=

r (r j 1

) r r j

1

j L

2

3

C

2

3

C

r

r

j 1

2

3

C

400

90 (25

j8)

1,81

2

178,8 A ;

50(25 j8)

2

75 j8

j78,5

75 j8

i2пр(t) 1,81sin( t 178,8 ) A;

2.Свободная составляющая переходного тока i2(t):

а) эквивалентная операторная схема для свободного режима представлена на рис. 19.9;

ELсв (p)

r3

б) ЭДС внутренних источников энергии

свободного режима:

pL

E

Lcв

(p) Li

(0) L i

(0) i

(0)

;

I2св(p)

1 pC

1св

1

1пр

u

(0)

uC (0) uСпр(0)

ECсв(p)

E

(p)

Ссв

.

r2

Ссв

p

p

В соответствии с законами коммутации

Рис. 19.9

i1(0 ) i1(0 ); uC (0 ) uC (0 ).

Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости до коммутации

(t 0):

I

1

t 0

E

400 90

5,4

160,35 A;

r

jx

jx

L

2(25 j78,5 j8)

2

3

C

213

U					I				( jx	)	5,4			160,35 8 90	43			109,5 B;
		C		t 0		1		t 0	C	2					2

i1( t) 5,4sin( t 160,35 ) A; uC ( t) 43sin( t 109,5 ) В.

К моменту коммутации:

i1(0 ) 5,4sin( 160,35 ) 1,82A ; uC (0 ) 43sin(109,5 ) 40,5B.

Следовательно, i1(0 ) i1(0 ) 1,82A; uC (0 ) uC (0 ) 40,5 B.

Принужденные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости:

I

1пр

E

400 90

r3 jxC

r2

50(25 j8)

jxL

2

j78,5

r

r

jx

75 j8

2

3

C

5,23 167 A;

2

U

Cпр

I1пр

r2

( jxC )

5,23 167 50 8 90

r

r

jx

2(75 j8)

2

3

C

27,8 109 B;

2

i1пр(t) 5,23sin( t 167 ) A ; uCпр(t) 27,8sin( t 109 ) В;.

Значения i1пр и uСпр в момент коммутации (t = 0+):

i1пр(0 ) 5,23sin( 167 ) 1,18A;

uCпр(0 ) 27,8sin(109 ) 26,29B.

Значения свободных составляющих тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации (t = 0):

i1св(0 ) i1(0 ) i1пр(0 ) 1,82 ( 1,18) 0,64 A ;

uCсв(0 ) uC(0 ) uCпр(0 ) 40,5 26,29 14,21B.

214 19. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Следовательно,

ELсв(p) Li1св(0 ) 0,16B c;

E

(p)

uCсв(0 )

14,21

B c;

Cсв

p

p

в) изображение свободной составляющей искомого тока:

– по методу двух узлов (рис. 19.9)

ELсв(p)

1

ECсв(p)

1,19p 1066,67

pL

r 1/ pC

Uab

(p)

3

;

1

1

св

1

p

2 100p 6666,67

pL

r3 1/ pC

r2

– по закону Ома

Uab

(p)

0,024p 21,34

F (p)

I2св(p)

св

1

;

r2

F2(p)

p2 100p 6666,67

г) оригинал свободной составляющей искомого тока. Корни характеристического уравнения F2(p) = 0:

p2 100p 6666,67 0;

p1,2 50 2500 6666,67 50 j64,55 с 1;

p1 50 j64,55 81,65 127,8 c 1; p2 50 j64,55 81,65 127,8 c 1.

По теореме разложения в случае комплексных корней

		F1		(p)		F1(p1)		p t
f(t) = L	–1					2Re		e 1
		F2		(p)		F2(p1)			.

215

Следовательно,
i		(t) 2Re		0,024( 50 j64,55) 21,34		e( 50 j64,55)t
2св				2( 50 j64,55) 100
2Re	0,157ej94,36 e( 50 j64,55)t				2Re 0,157e 50tej(64,55t 94,36 )

0,314e 50t cos64,55t 94,36 ) A.

3.Общее решение для искомого переходного тока:

i2(t) i2пр i2св 1,81sin( t 178 ) 0,314e 50t cos(64,55t 94,36 ) A.

Ответ: i2(t) 1,81sin( t 178 ) 0,314e 50t cos(64,55t 94,36 ) A.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 19.5

Найти закон изменения тока в цепи (рис. 19.10), r если

e(t) E (1 e t) Â;

e(t)

i(t)

0

C

E0= 100 B; r = 50 Ом;

С = 100 мкФ; 100 с 1 ;.

Рис. 19.10

i(t) = 2 e 100t

Ответ:

e 200t A.

Задача 19.6

Найти закон изменения тока i(t) в ветви с источни-

ком энергии (рис. 19.11), если

i(t)

L

E = 100 B; r = 3 Ом;

E

r1

r1 = 5 Ом; r2 = 2 Ом;

С = 200 мкФ; L = 0,1 Гн.

C

r2

Ответ: i(t) 20 5,28e 612,8t 0,28e 51t

A .

Рис. 19.11

216 19. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Задача 19.7

К

Найти закон изменения тока в конденсаторе

(рис.19.12) после размыкания ключа, если:

r1

L

r1 = r2 = 100 Ом;

iC(t)

L = 1,0 Гн;

U

r2

С = 100 мкФ;

C

U = 2000 B.

Ответ: iC(t) 20e 100t sin100t A.

Рис. 19.12

Задача 19.8

Дано (рис. 19.13): u(t) = 500 sin 314t B; r = 50 Ом;

С = 100 мкФ; L = 0,3 Гн.

Определить uC(t) по методу Богатырева.

Ответ: uC (t) 346sin(314t 46 )412e 100t cos(153t 52 ) B.

r

u(t)
			u (t)			C				L
			C

Рис. 19.13

20. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НА НАПРЯЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ (интеграл Дюамеля)

Основные сведения

Интеграл Дюамеля (интеграл наложения) применяют для расчета переходных процессов в схеме с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику напряжения произвольной формы

Переходные характеристики схемы

Использование

интеграла

g(t)=i(t)

u

1 В ,

Дюамеля

требует знания пере-

вх

ходных

характеристик

схемы,

h(t) =

,

k (t) u(t)

определяемых классическим или

u

uвх 1 В

операторным методом.

g(t) – переходная проводимость (равна искомому пере-

Переходная характеристика

ходному току при включении цепи на постоянное на-

h(t) – реакция цепи при нулевых

пряжение uвх = 1 В);

начальных условиях на единич-

ku(t) – переходная функция по напряжению (равна иско-

ное ступенчатое воздействие

мому переходному напряжению при включении цепи на

постоянное напряжение uвх = 1 В)

d

Импульсная переходная

характе-

g (t)

g(t) g(0 ) (t),

dt

ристика hδ(t) – реакция цепи при

h (t)

d

нулевых

начальных условиях на

ku (t)

ku(t) ku(0 ) (t),

dt

единичный импульс

напряжения

(тока) – δ-функцию

gδ(t) – импульсная переходная проводимость;

kuδ(t) – импульсная переходная функция по напряжению

Формы записи интеграла Дюамеля

–запись интеграла Дюамеля при помощи переходной характеристики, где τ – переменная интегрирования

–запись интеграла Дюамеля при помощи импульсной переходной характеристики

t

i(t) u(0)g(t) u ( )g(t ) d

0

t

i(t) u( )g (t ) d

0

218	20. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Алгоритм расчета переходных процессов методом интеграла Дюамеля

1.Определение переходной характеристики h(t)классическим (операторным) методом

изамена переменной t (t ) : h(t) h(t )

2.Вычисление временной производной входного воздействия u(t) с последующей за-

меной t на переменную интегрирования τ: u (t) u ( ) , где u ( ) du(t) dt t

3.Определение искомого переходного тока (напряжения) с помощью интеграла Дюамеля

4.В случае если входное воздействие определено различными функциями на отдель-

ных временных интервалах и на границах tk этих интервалов имеются разрывы первого рода, временной интервал исследования переходной величины (0 t ) разбивается на отдельные участки и решение записывается для отдельных интервалов. При этом учитывается ре-

акция цепи на конечные скачки входного воздействия в точках разрыва tk:

i(tk ) u(tk ) u(tk ) g(t tk )

Решение по интервалам

Пример:

0 t t1,

t

входное воздействие u(t)

задано

кусочно-непрерывной

i(t) u1(0)g(t) u1( )g(t ) d

0

функцией

t1 t t2,

u

i(t) u

(0)g(t)

t1

u

( )g(t ) d u

(t ) u (t ) g(t t )

u1(0)

2

1

1

1

1

1

1

0

u1(t)

t

t

u2( )g(t ) d

t1

0

t1

t2

t t2,

u2(t)

t1

i(t) u

(0)g(t)

u

( )g(t ) d u

(t ) u (t ) g(t t )

2

1

1

1

1

1

1

0

t2

u2( )g(t ) d u2(t2) 0 g(t t2)

t1

					219
	Приведение схем к нулевым начальным условиям
Переходный процесс в схемах с ненулевыми начальными условиями может быть рас-
считан методом наложения. Ток рассматриваемой ветви получают суммированием устано-
вившегося докоммутационного тока i (t)и переходного токаi				(t), возникающего в этой вет-
ви при подключении схемы с нулевыми начальными условиями к источнику напряжения
(тока), равному напряжению (току) на ключе в докоммутационном режиме: i(t) i (t) i (t)
	В случае замыкания ключа
Приведение схем нулевым начальным условиям	i'(t)	uкл( t)	i"(t)	uкл uкл ( t)
	В случае размыкания ключа
	i'(t)	iкл( t)	i"(t)	iкл iкл( t)
к
	Библиографический список к разделу 20

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 14.16–14.19.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 8.51–8.55.

ПРИМЕРЫ

Задача 20.1

В схеме (рис. 20.1) известно:

i

r1

u(t) 100e 20t В;

1

r1 = 10 Ом; r2 = 15 Ом; L = 0,1 Гн.

u(t)

r2

L

Определить i1(t), используя интеграл Дюамеля.

Решение

1.В соответствии с основной формой инте-

Рис. 20.1

грала Дюамеля

t

(t τ)dτ.

i1(t) u(0)g1(t) u (τ)g1

0

22020. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

2.Определение переходной проводимости g1(t) искомой ветви (классиче-

ский метод):

g1(t) i1(t)|u 1B i1пр i1св 1r1 Aept =0,1 + Аept,

rr

60 c 1 ;

где p

1 2

L(r1 r2)

A i (0)|

i

(0)|

1

1

= 0,04 – 0,1 = 0,06.

r r

1

u 1B

1пр

u 1B

r

1

2

1

Следовательно, g (t) 0,1 0,06e 60t

Ом–1.

1

Переходная проводимость в запаздывающей форме

g (t τ) 0,1 0,06e 60(t τ) Ом–1.

1

3.Определение u(0) и u'(τ):

u(0) = 100 B;

u (τ) u (t)

t τ 2000e 20τ В/с.

4.Искомый переходный ток i1(t):

		60t	t	20τ		60(t τ)
	i1(t) 100 0,1 0,06e		2000e
					0,1 0,06e	dτ
			0

tt

10 6e 60t 200 e 20 d 120e 60t e40 d

0

0

10 6e 60t 10e 20

t

3e 60t e40

t

0

0

10 6e 60t

10(e 20t 1) 3e 60t (e40t 1) 13e 20t 9e 60t A .

Проверка: i (t)

13e 200

9e 600

4 A ; i (t)

0 A;

1

t 0

1

t

i (0)

u(0)

4A (с учетом закона коммутации);

1

r1 r2

i ( )

u

t

0

0 A.

1

r1

10

Ответ: i1(t) = 13e–20t – 9e–60t A.

221

Задача 20.2

В схеме (рис. 20.2) известно: r1 = 10 Ом; r2 = 15 Ом; C = 20 мкФ. График

напряжения на входе цепи представлен на рис. 20.3, где
u1(t) U0	(U	0 t1)t ;	u2(t) U0 cos (t t1) ;	U0 100 В ;	t1 5 мкc;
t2 1,575 мc;		103 c 1 . Определить uC (t).

r1			u
			2U0
				u (t)
				1
u(t)	C	r2	U0		u2(t)
u (t)
C
			0		t
				t1	t2
Рис. 20.2					Рис. 20.3

Решение

1. Выражения для искомого напряжения на различных временных интервалах, представленные с помощью интеграла Дюамеля:

а) 0 ≤ t ≤ t1:

t

uC (t) u1(0)kuC (t) u1( )kuC (t )d ;

0

б) t1 ≤ t ≤ t2:

t1

uC (t) u1(0)kuC (t) u1( )kuC (t )d u2(t1) u1(t1) kuC (t t1)

0

t

u2( )kuC (t )d ;

t1

в) t2 ≤ t ≤ ∞:

t1

uC (t) u1(0)kuC (t) u1( )kuC (t )d u2(t1) u1(t1) kuC (t t1)

0

t2

u2( )kuC (t )d .

t1