Кравченко. Практикум

152	15. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ C НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ЭДС

xM(k)
	x(k)	xM(k)
	M
I11(k)	I22(k)
U(k)	x(k)	xL(k)
	L1	2

I1

r1 r2

Рис. 15.3

3. Решение системы уравнений по методу контурных токов относительно искомого тока в первой ветви:

U

(k)

jx(k)

m

M

(k)

U

(k)r jx(k)

I(k)

I(k)

1

m

2

L2

.

1m

11m

(k)

r1 jxL(k1)

jxM(k)

jx(k)

r

jx(k)

M

2

L2

Комплекс амплитудного значения первой гармонической составляющей искомого тока:

U

m(1)

j M

(1)

U

(1)

r j L

I(1)

1

m

2

2

=

1m

(1)

r j L

j M

1

1

j M

r2 j L2

220

j125,6

=

220

20 j125,6

= 0,483 –24,46° А.

20 j62,8

j125,6

j125,6

20 j125,6

Комплекс амплитудного значения второй гармонической составляющей искомого тока:

U

m(2)

j2 M

(2)

U

(2)

r

j2 L

I

(2)

1

m

2

2

=

1m

(2)

r j2 L

j2 M

1

1

j2 M

r2 j2 L2

110

j251,2

=

110

20 j251,2

= 0,067 –13° А.

20 j125,6

j251,2

j251,2

20 j251,2

153

4. Действующее значение тока в первой ветви:

	1						2			2	1
I1 =				I	(1)			I(2)							0,4782 0,0662 = 0,345 А.
	2			1m				1m			2
Ответ: I1 = 0,345					А.

Задача 15.3

Определить показания амперметров электро-

магнитной системы А и А1 в схеме, изображенной на рис. 15.4, если r = 8 Ом, а реактивные сопротивления для токов основной частоты соответственно равны:

x(1)

x(1)

= 6 Ом,

x(1)

= 2 Ом,

1

2

3

x(1)

= 1 Ом, x(1)

= 9 Ом.

Рис. 15.4

4

5

Мгновенное значение напряжения на входе цепи

u(t) = 16 +1002 sin t + 402 sin3 t (В).

Решение

1. С учетом того, что для нулевой гармоники

x1(0) x5(0) , x2(0) x3(0) x4(0) 0,

постоянные составляющие токов в цепи:

(0) U(0) 16

(0)

r8 1 0.

2.Первые гармонические составляющие искомых токов.I 2 А, I

Равенство сопротивлений x1(1) x2(1) предопределяет резонанс токов в кон-

туре x1 x2, и, как следствие, бесконечно большое сопротивление между точками a и b. В результате

154	15. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ C НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ЭДС
(1)			(1)	(1)		U			(1)		U(1)					100
I3	0,	I			I4												8,84 45	А,
								zвх(1)			r j x4(1) x5(1)
																8 j8

а напряжение на зажимах резонансного контура

Uab(1) I4(1) jx4(1) jx5(1) = 8,84 45°(–j8) = 70,7 –45° Ом.

Сучетом того что

Uab(1) I1(1)( jx1(1)),

первая гармоника тока в амперметре А1 определится соотношением

I(1)		U		ab(1)		70,7 45	11,78 45 А.
1		jx1(1)				j6

3. Третьи гармонические составляющие искомых токов.

Равенство сопротивлений x4(3) x5(3) предопределяет резонанс напряже-

ний в ветви x4 x5 и, как следствие, нулевое сопротивление между точками d и b . В результате Udb(3) 0, и третья гармоническая тока амперметра в первой ветви I1(3) 0. При этом рассматриваемая гармоника тока входного ампер-

метра

						I	(3)		U				(3)		U				(3)	40
																								5 А.
											zвх(3)								r
																				8
4. Действующие значения токов:
			(0) 2 I				(1) 2		I(3) 2
I	I																					22 8,842			52		10,35 А ,
		I(0)		2	I(1)			2							2
I1 =											I			3							02 11,782				02		11,78 А .
			1				1						1
Ответ: IА = I = 10,35 A; IA												= I1 =11,78 A.
									1

155

Задача 15.4

Показания измерительных приборов элек-				А	*			*
тромагнитной системы (рис. 15.5) имеют сле-
							W
дующие значения:
IА = 15 А, UV = 60 В, PW = 225 Вт.								L
		V
Определить индуктивность L и сопротив-
ление r, если мгновенное значение напряжения								r
на входе цепи
u(t) = U1m sin t +0,4 U1m sin3 t (В),				Рис. 15.5

а частота основной гармоники f = 50 Гц.

Решение

1. Определение амплитудных значений гармонических составляющих входного напряжения.

Так как вольтметр на входе цепи определяет действующее значение входного напряжения, то

1

1

U =

U2

U2

U2

(0,4U

)2 0,76U .

V

1m

3m

2

1m

1m

1m

2

Следовательно,

U1m UV 60 78,9 В, 0,76 0,76

U3m = 0,4U1m = 31,6 В.

2. Определение активного сопротивления r.

Ваттметр определяет активную мощность в цепи, т.е. мощность потерь в резисторе PW = I2r. Поэтому

r	PW		225	1 Ом.
	I2 152

3. Определение индуктивности L.

156	15. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ C НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ЭДС

Амперметр измеряет действующее значение тока в цепи, определяемое через гармонические составляющие соотношением

			1								1						U		2					U			2
							2		2																3m
I						I		I									1m										.
	A			2 1m					3m			2			r	2	(ωL)	2				r	2	(3ωL)		2

Возведя в квадрат левую и правую части тождества, имея в виду, что

IA = 15 А, U1m = 78,9 В, U3m = 31,6 В, получим биквадратное уравнение относительно L:

L4 1,315 10 4L2 1,721 10 10 0.

Из решения биквадратного уравнения, при учете лишь действительных и положительных корней, получаем

L = 0,012 Гн.

Ответ: r = 1 Ом, L = 0,012 Гн.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 15.5

						В схеме (рис. 15.5) известно:
						u(t) = 250 + 220 sin t + 110 sin(2 t + 90°) (В),
						L1 = 0,1 Гн, L2	= 0,3 Гн,
						M = 0,053 Гн,	r = 30 Ом,
						частота основной гармоники f = 50 Гц.
				Рис. 15.5		Определить i(t) и коэффициент мощности.

Ответ: i(t) = 8,33 +1,36sin( t – 79°) +0,345 sin(2 t + 5,5°) А, cos = 0,12.

Задача 15.6

Решить задачу 15.5 при условии встречного включения катушек.

Ответ: i(t) = 8,33 +2,256sin( t – 72°) +0,588sin(2 t + 9,23°) А, cos = 0,33.

157

Задача 15.7

В схеме (рис. 15.6) r = 80 Ом. Со-

противления реактивных элементов то-

кам основной частоты:

x

(k)

x(1)

x(1) = 20 Ом,

x1(k)

x2(k)

3

1

2

x(1) = 10 Ом, x(1) = 90 Ом,

x(k)

4

3

4

u(t) = 40 + 113sin( t + 45°) + 80sin3 t(В).

Рис. 15.6

Определить показания приборов электромагнитной системы и мгновенное значение входного тока.

Ответ: i(t) = 0,5 + 1 sin( t) + 1 sin(3 t) (А), IА = 1 А, UV = 77,5 В, PW = P = 98,4 Вт.

Задача 15.8

	C1			C2			На входных зажимах электрического
							фильтра (рис. 15.7) мгновенное напряжение
	L						u1(t) = U1msin(2 ft)+ U3m sin(6 ft) (В).
					u2(t)		Рассчитать параметры фильтра С1 и С2
u (t)
1							из условия, что L = 0,12 Гн, f = 50 Гц, а на-
							пряжение на выходе фильтра имеет вид
	Рис. 15.7
							u2(t) = U1m sin(2 ft).

Ответ: С1 = 9,4 мкФ, С2 = 75 мкФ.

Задача 15.9

В схеме (рис. 15.8):

i(t) = 10 + 42 sin100t + 62 sin300t (А), r = 10 Ом.

Сопротивления реактивных элементов токам основной частоты:

x1(1) x2(1) = 6 Ом, x3(1) = 3 Ом, x4(1) = 9 Ом.

158 15. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ C НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ЭДС

Найти показания измерительных при-

боров электромагнитной системы и актив-

x(k)

(k)

ную мощность цепи.

1

(k)

x4

x3

Ответ: IА

= 7,2 А,

IА

= 10 А,

x2(k)

1

2

IА

= 33,5 А,

IА

= 32 А,

3

4

Р = 1000 Вт.

Рис. 15.8

16.НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЙ РЕЖИМ

ВТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ

Основные сведения

Гармонический спектр несинусоидального симметричного трехфазного генератора

T

T

eA(t) Ekm sink t,

eB(t)

Ekm sink t

,

eC (t) Ekm sink

t

3

k 1

k 1

k 1

3

Гармоники порядка

EB

a2EA

,

k (3n 1), где n = 0, 1, 2…

(3n 1)

(3n 1)

EA(3n 1)

EC

aEA

,

образуют

симметричную

сис-

(3n 1)

(3n 1)

тему

прямой

последователь-

EC(3n 1)

EB(3n 1)

где a 1e j120 ,

ности

a2 1e j240

Гармоники порядка

EB

aEA

,

EA(3n 1)

(3n 1)

(3n 1)

k (3n 1), где n = 1, 2, 3…

EC

a

2

EA

,

образуют

симметричную

сис-

EB(3n 1)

EC(3n 1)

(3n 1)

(3n 1)

тему

обратной

последователь-

где a 1e j120 ,

ности

a2 1e j240

Гармоники порядка

k 3n, где n = 1, 2, 3…

EA

EB

EC

образуют

симметричную

сис-

тему нулевой последовательно-

3n

3n

3n

сти

Расчет симметричной трехфазной цепи для частот, образующих симметричные системы той или иной последовательности, осуществляется на одну фазу. При расчете гармонических составляющих, образующих симметричные системы прямой и обратной последовательностей, сопротивление нулевого провода полагается равным нулю. При расчете гармоник, образующих симметричную систему нулевой последовательности, сопротивление нулевого провода, скорректированное по частоте (для гармоник кратных трем), должно быть утроено в схеме замещения фазы. Искомые величины определяются по принципу наложения как совокупность рассчитанных гармонических составляющих

160	16. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЙ РЕЖИМ В ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ
																											2																	2																2
Действующее значение фазной							2					E1m																																					E3m
																																			E2m
ЭДС	E				En																																																										...
																			2																			2														2
					n 1
Действующее значение линей-
																																		2															2																2
ного напряжения симметрично-								2												E1m																					E2m												E4m
го трехфазного источника	U 3						E	k				3																																																							...
																											2																			2
				k 3n																																																									2
Действующее значение линей-
																												2																2															2
ного тока в трехпроводной								2						I1m																																			I4m
																																				I2m
симметричной цепи	I						I	k																																																						...
																					2																		2
					k 3n																																															2
Действующее значение тока
																													2						I											2													2
в нулевом проводе четырехпро-								2											I		3m																		6		m									I		9m
водной симметричной цепи	I 3						I			3																																																					...
								k													2																															2
					k 3n																																				2
Действующее значение напря-
																														2																	2															2
жения смещения нейтрали										2										E																		E															E
в симметричной цепи	U0 0					E																	3m																			6m														9m									...
																								2																																		2
	1					k 3n				k																															2

Библиографический список к разделу 16

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Нетушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 12.10.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 7.13.

ПРИМЕРЫ

Задача 16.1

Трехфазный генератор и симметричный трехфазный потребитель соединены по схеме «звезда–звезда» (рис. 16.1). Мгновенное значение ЭДС фазы А

eA(t) = 300sin t+ 160sin(3 t –30°) + 100sin(5 t + 90°) (В).

Сопротивления приемников токам первой гармонической: z(1) = 20 + j10 (Ом).

Определить показания приборов электромагнитной системы.

161

		А	A		а
		eA			z
eC	0		V		01 z
С		eB	В	z	b
				с

Рис. 16.1

Решение

1. Расчет гармонических составляющих токов и напряжений в цепи

(рис. 16.1).

Первая гармоника образует симметричную систему прямой последовательности.

По методу узловых потенциалов

C

y

C

E(1) y(1)

(1)

E

(1)

0(1)0

A

ф

ф

ф

ф

U

A

0,

C

C

1

y

(1)

y(1)

ф

ф

A

A

C

поскольку для симметричной системы прямой последовательности Eф(1) 0.

Из обобщенного закона Ома следует:																A
													300
(1)			(1)			(1)		(1)	(1)		(1)			2
	I	A	(EA	U		0 0)	y	A	EA	y	A					9,5 26,5 А.
						1							20 j10

Третья гармоника образует симметричную систему нулевой последова-

тельности, т. е. EA(3) EB(3) EC(3) Eф(3) .

В соответствии с методом узловых потенциалов

			C
			E(3) y(3)
U		0(3)0	A	ф				ф
				C
1				y		(3)
						ф
				A

C

Eф(3) y(3)ф

C A

A yф(3)

E(3)	E(3)		160
	фm				113,5 В.
ф		2		2