Кравченко. Практикум

122	12. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение треугольником)

Задача 12.5

В цепи (рис. 12.8) система линейных напряжений генератора симметрична.

С помощью векторной диаграммы определить мощность, измеряемую ваттметром.

Ответ: PW 3Qф , где Qф – реактивная

мощность фазы генератора.

Рис. 12.8

13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения)

Основные сведения

Метод симметричных составляющих используется в основном в тех случаях, когда цепь содержит динамические элементы (вращающиеся генераторы и электродвигатели). В соответствии с этим методом несимметричная система трехфазной цепи разлагается на три симметричные (прямой, обратной и нулевой последовательностей), при выборе в качестве основной одной из фаз, например, фазы А.

А0

	А2		A1
	A			B2
	A1
				А2		А0
	B					B0
		=	+		+	C0
	B0
C1	B2		B1
	B1			C2

C C1

C2

C0

Расчет каждой из симметричных последовательностей осуществляется на одну фазу. Искомые величины определяются по принципу наложения как совокупность рассчитанных симметричных составляющих.

Разложение несимметричной системы А, В, С на три симметричные системы

	Прямая последовательность														Обратная последовательность														Нулевая последо-
																					(А2, В2, С2)									вательность
				(А1, В1, С1)
																															(А0, В0, С0)
A		1	(A aB a2C) ,					a 1ej120 ,									A				1		(A a2 B aC),						A			1	(A B C) ,
1	3							a2 1ej240											2	3					C a2 A				0		3
B a2 A ,				C	1	aA											B aA ,													A0 B0 C0
1	1					1													1					1	1	1
	Представление несимметричной системы А, В, С совокупностью трех симметричных
					A A A			2	A ,			B B B						2		B		0		или B a2 A aA			2		A	0	,
						1			0							1										1
							C C			1	C		2	C		0	или			C aA					a2 A	A
																								1	2	0

124	13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения)

Билиографический список к разделу 13

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 10.7, 11.1–11.4.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 6.20, 6.21.

ПРИМЕРЫ

Задача 13.1

Разложить несимметричную систему фазных на-

пряжений UA, UB, UС (рис. 13.1) на симметричные составляющие аналитическим и графическим методами. Модули фазных напряжений

UA = UB = UС = 254,5 В.

Определить симметричные составляющие линейных напряжений.

Рис. 13.1

Решение

А. Аналитический способ 1. Представление фазных напряжений в комплексной форме:

UA = 254,5 –45° В, UB = 254,5 –135° В, UC = 254,5 135° В.

2. Определение симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей фазного напряжения UA:

UA1 = 1 (UA + аUB + а2UС) = 3

=1 (254,5 –45° + 254,5 –15° + 254,5 15°) = 231,8 –15° В. 3

UA2 = 1 (UA + а2UB + аUС) = 3

=1 (254,5 –45° + 254,5 105°+ 254,5 255°) = 62,1 –75° В, 3

125

UA0 = 1 (UA + UB + UС) = 3

=1 (254,5 –45°+ 254,5 –135° + 254,5 135°) = 84,8 –135° В. 3

Б. Графический способ (рис. 13.2) 1. Выбор масштаба:

mU = 60 В/см.

2. Порядок построения:

на комплексную плоскость +, j (рис. 13.2) наносятся векторы фазных напряжений UA, UB,

UC (векторы ОА,ОВ ,ОС );

строятся вспомогательный треугольник ABC, а также два равносторонних треугольника ВСD1 и BCD2 (со сторонами, равными отрезку

BC);

из вершин D1 и D2					построенных тре-
угольников проводятся лучи D1A и D2A в точ-
ку А (конец вектора OA);							Рис.13.2
определяется положение центра тяжести (точка 01) треугольника ABC.
Примечание. Центр тяжести треугольника – точка пересечения его медиан.
3. Определение UA1, UA2, UA0
Лучи D1A и	D2A определяют утроенные значения комплексов симмет-
ричных составляющих фазного напряжения UA соответственно прямой и об-
ратной последовательности,					а луч 001 определяет нулевую составляющую
фазного напряжения UA, т. е.
		D1A = 3UA1, D2A = 3UA2, 001= UA0.
С учетом масштаба и пространственной ориентации лучей D1A, D2A, 001
(рис. 13.2)
U		=	D1A	m		11,55 15	60 231,8 15 В,
A1		3		U	3

126	13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения)
	U	=	D2A	m		3,105 75	60 62,1 75 В,
	A2		3 U		3

UA0 = 001mU = 1,41 –135°60 = 84,8 –135° В.

4. Зная симметричные составляющие фазного напряжения UA, можно определить симметричные составляющие фазных напряжений UВ и UС:

UВ1 = a2UA1 = 231,8 –135° B,

UВ2 = aUA2 = 62,1 45° B,

UВ0 = UA0 = 84,8 –135° B,

UC1 = aUA1 = 231,8 105° B,

UC2 = a2UA2 = 62,1 –135° B,

UC0 = UA0 = 84,8 –135° B.

5. Симметричные составляющие линейных напряжений:

UАВ1= UA1– UВ1 = 231,8 –15°– 231,8 –135°=3UA1ej30 = 401,5 15° В,

UАВ2= UA2– UВ2 = 62,1 –75° – 62,1 45°=			3	U		A2e j30 = 107,6 –105° В,
		UАВ0 = UA0 – UВ0 = 0,
U	= а2U	= 401,5 –105° В, U	= аU				= 107,6 15° В,
ВС1	АВ1	ВС2				АВ2

UBC0 = UАВ0 = 0,

UCA1 = аUАВ1 = 401,5 135° В, UCA2 = а2UАВ2 = 107,6 135° В,

UCA0 = UАВ0 = 0.

Ответ: UA1 = 231,8 –15° В, UA2 = 62,1 –75° В, UA0 = 84,8 –135° В. UAB1 = 401,5 15° В, UAB2 = 107,6 –105° В, UAB0 = 0.

Задача 13.2

Трехфазный несимметричный генератор, система фазных напряжений которого представлена на рис. 13.1 (задача 13.1), питает симметричную нагрузку, соединенную звездой (рис. 13.3). Сопротивление фазной нагрузки rф = 2 Ом.

127

Сопротивления каждой фазы генератора токам прямой последовательности zг1 = j3 Ом, токам обратной последовательности zг2 = j2 Ом, токам нулевой последовательности zг0 = j1 Ом. Методом симметричных составляющих определить токи в линейных проводах цепи.

Рис. 13.3

Решение

Представив несимметричную систему фазных ЭДС совокупностью симметричных составляющих (величины которых определены в задаче 1), получим расчетную схему, изображенную на рис. 13.4.

UA1	UA2	U А0 zг1 zг2 zг0	r
		IA
UB1	UB2	UВ0	r
0		IB		01
UC1	UC2	U С0	r
		IC

Рис.13.4

128	13. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения)

Для каждой из симметричных составляющих расчет может проводиться на одну фазу.

1. Расчет симметричной системы прямой последовательности.

Схема замещения фазы А для прямой последовательности представлена на рис. 13.5. В соответствии с законом Ома

IA1 UA1 zг1 r

		231,2 15		231,2 15	64,2 71,31 A .
		j3 2
Рис. 13.5				3,6 56,31

2. Расчет симметричной системы обратной последовательности.

Схема замещения фазы А для обратной последовательности представлена на рис. 13.6. В соответствии с законом Ома

I

A2

U

A2

69,4 75

zг2 r

j2 2

69,4 75 24,6 120 А.

2,82 45	Рис. 13.6

3. Расчет симметричной системы нулевой последовательности.

Схема замещения фазы А для нулевой последовательности представлена на рис. 13.7. В соответствии с законом Ома

			I	A0	U		A0			84,8 135
					zг0 r
										j1 2
		84,8 135							37,9 161,6 А.
		2,236 26,57

Рис. 13.7

4. Определение фазных токов исходного несиммет-

ричного режима:

IA = IA1 + IA2 + IA0 =

= 64,2 –71,3° + 24,6 –120° + 37,9 –161,6° = 98 –106,4° А,

IB = IB1 + IB2 + IB0 = a2 IA1 + aIA2 + IA0 =

= 64,2 –191,3° + 24,6 0° + 37,9 –161,6° = 74,3 179,5° A,

129

IC = IC1 + IC2 + IC0 = aIA1 + a2IA2 + IA0 =

= 64,2 48,7° + 24,6 120° + 37,9 –161,6° = 57,87 95,84° A.

Ответ: IA = 98 A, IB = 74,3 A, IC = 57,87 A.

Задача 13.3

На входе цепи (рис. 13.8) с динамической нагрузкой (электродвигатель)

действует несимметричная система линейных напряжений UAB, UBC, UCA,

симметричные составляющие которых определены в задаче 13.1. Сопротивление динамической нагрузки для токов прямой последовательности

z1 = (6+j8) Ом, для токов обратной последователь-

ности z2 = (6+j4,5) Ом. Определить токи IA, IB, IC.

Решение

1. Симметричным составляющим	линейных
напряжений на входе цепи (см. задачу 13.1)		Рис.13.8
UAB1 = 401,5 15° В,	UAB2	= 107,6 –105° В

соответствуют симметричные составляющие фазной ЭДС (например, фазы А): прямой последовательности:

EA1=UAB1 30 401,5 (15 30 ) 231,8 15 В;

3						3
обратной последовательности:
EA2 =	U		AB		2	30	107,6			( 105 30 ) 62,1 75 В.
						3
3

2. Определение составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей тока фазы А.

13013. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ (несимметрия входного напряжения)

Составляющая тока фазы А прямой последовательности: схема замещения фазы симметричного режима прямой последовательности представлена на

рис.13.9. Из схемы следует:

IA1 =

EA1

231,8 15

23,18 68,2 A.

z

6 j8

1

Составляющая тока фазы А обратной после-

довательности: из схемы замещения фазы симмет-

Рис. 13.9

ричной цепи режима обратной последовательности

(рис. 13.10) вытекает

I A2

EA2

62,1 75

8,28 111,8 A.

z2

6 j4,5

Составляющая тока фазы А нулевой последова-

тельности равна нулю, поскольку в цепи (рис. 13.8)

отсутствует нулевой провод, и схема замещения фазы

для режима нулевой последовательности имеет вид,

представленный на рис. 13.11.

Рис. 13.10

Естественно, что IA0 = 0.

3. Определение линейных токов исходного несимметричного режима:

IA = IA1 + IA2 +

I

A0 =

= 23,18 –68,2° + 8,28 –111,8° = 29,73 –79,3° А,

IB = IB1 + IB2 +

I

B0 = a2 IA1 + aIA2 +

I

A0 =

Рис. 13.11

= 23,18 (–68,2° + 240°) + 8,28 (–111,8° + 120°) =

= 15,4 163° A,

IC = IC1 + IC2 +

I

C0 = aIA1 + a2IA2 +

I

A0 =

= 23,18 (–68,2°+120°) +8,28 (–111,8°+240°) = 26,4 69,6° A.

Ответ: IA =29,73 –79,3° А, IB = 15,4 163° A, IC = 26,4 69,56° A.

131

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 13.4

Система фазных напряжений (рис. 13.12) несимметрична. Действующие значения напряжений:

UA = 330 В, UB = UC = 156 В.

Определить симметричные составляющие пря-

мой, обратной и нулевой последовательностей фаз-

ного напряжения UA.

Рис. 13.12

Ответ: UA1 = 200 В, UA2 = 20 В, UA0 = 110 В.

Задача 13.5

C

На рис. 13.13 изображена схема фильтра

симметричных составляющих линейных напря-

B

жений. Доказать:

при zA = z –60°, rV = z, zC = z 60° показа-

A

ние вольтметра пропорционально составляющей

zC

zA

прямой последовательности;

rV V

при zA = z 60°, rV = z, zC = z –60° показа-

0

Рис. 13.13

ние вольтметра пропорционально составляющей

обратной последовательности.

Ответ: для прямой последовательности симметричного источника из уравнения по методу узловых потенциалов

					1					1			1			EA		EA 120		EA 120
		0														1		1		1
																z 60		z		z 60
1			z 60							z z 60
следует, что						1	E		A	60 .
			0		2
			1						1