Кравченко. Практикум

232

21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

U

(I1 I2) f (Uab)

Решениеполучают согласноуравнению

I3(Uab )

I1(Uab) I2(Uab) I3(Uab)

Uab

I1(Uab )

как

пересечение

двух

характеристик

I1(Uab) I2(Uab) f (Uab) и I3(Uab).

Определив напряжение Uab , при котором

I

удовлетворяется первый закон Кирхгофа,

находят искомые токи в ветвях схемы на

I3

I2

I1

пересечениях

прямой

U Uab

с эквива-

I2(Uab )

лентными ВАХ ветвей

Аналитический расчет нелинейных цепей постоянного тока

1. Расчет с использованием эквивалентных линейных схем замещения нелинейных

элементов (линеаризация нелинейного элемента в окрестностях рабочей точки)

U

Дифференциальное сопротивление НЭ определяется отноше-

Uраб

U(I)

нием бесконечно малых приращений напряжения и тока НЭ и

I

пропорционально тангенсу угла наклона касательной в рабочей

точке ВАХ относительно оси тока

I

rd U I dU dI tg .

Iраб

Если ВАХ НЭ в окрестностях рабочей точки приближенно заменить отрезком прямой, то НЭ

в пределах этого отрезка может быть представлен линейным активным двухполюсником. При

этом цепь становится линейной и расчет можно осуществлять методами теории линейных

цепей

НЭ

Вольт-амперная характеристика НЭ

Эквивалентная схема

U

a

I

U0

rd

b

U

a

U(I)

I

b

U(I)

Uab

d

U0

Ir

J0

Uab

I

J0

0

I

a

I

r

b

d

U

ab

U

0

Ir E Ir , I J

0

Uab

J

0

Uab

Uab

d

d

m tg

r

r

d

U

U(I)

a

I

U0

rd

b

a

U(I)

I

b

U

Uab

Uab

I

J0

Uab

Ird

0

J0

I

E

rd

U0

a

I

b

U

ab

U

0

Ir E Ir ,

I J

0

Uab

J

0

Uab

U

ab

d

d

m tg

r

r

d

233

Порядок расчета

На характеристиках НЭ произвольно выбираются предполагаемые рабочие точки, проводятся касательные в окрестностях этих точек, по отсечкам на координатных осях определяются значения напряжения (тока) эквивалентного источника энергии, а по углу наклона касательных находятся дифференциальные сопротивления НЭ.

Строится линейная схема замещения, в которой каждый из НЭ представляется комбинацией линейного дифференциального сопротивления и источника напряжения (тока).

Линейная схема рассчитывается любым методом. По окончании расчета нужно убедиться, что полученные значения токов и напряжений не вышли за пределы участков спрямлений. Если это произошло, необходимо повторить расчет, осуществляя спрямление характеристик в окрестностях рассчитанных значений

2. Итерационный метод расчета нелинейных цепей постоянного тока (метод после-

довательных приближений)

Суть метода состоит в многократном решении системы нелинейных уравнений (описывающих на основе законов Кирхгофа состояние исследуемой цепи) до тех пор, пока значения очередного приближения не совпадут с заданной точностью с результатами предыдущего приближения.

Порядок действий:

выбирается функция-критерий (в качестве которой, как правило, рассматривается один из источников) и стартовая функция (ток или напряжение одного из элементов);

задавшись произвольным значением стартовой функции (первое приближение), осуществляется решение нелинейной системы уравнений и определяется критерий;

полученное первое приближение критерия сравнивается с заданной величиной (если это источник). Если совпадения не произошло, выбирается новое (второе) приближение стартовой величины и расчет продолжается до тех пор, пока очередное найденное значение критерия не совпадет с его заданным значением с требуемой точностью;

для ускорения сходимости итерационного расчета может быть построена дополнительная зависимость: критерий в функции стартовой величины. Для этого, как правило, достаточно трех приближений. На этой зависимости по заданному значению критерия определяется реальное значение стартовой величины, которое позволяет с помощью очередного расчета системы уравнений найти реальные значения оставшихся величин.

Если в качестве критерия выбрано напряжение (ток) одного из элементов, то расчет проводится до тех пор, пока значение критериальной величины очередного приближения не совпадет с требуемой точностью с ее значением предшествующего приближения

Система нелинейных уравнений

E

I1

I2

I3

U

U1(I1)

U2(I2 )

E

E

U

1

2

2

3

U1

U3(I3)

U (I )

U2(I2)

U

(I

)

U

3

I

1

1

3

3

I

I

I

1

2

3

I1 I2 I3						0,							(1)
	(I1) U2					(I2) E1 E2,							(2)
U1
U		2	(I	2	) U		3	(I	3	) E	2	E.	(3)

Пусть Е3 – критерий, I1 – стартовая величина

	234		21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
					Расчет первого приближения
	I1	U1(I1)		(2)	U2(I2)	(1)	U3(I3)	(3)
		U1		U	2 I2	I3 U3		E3 E3
					Последующие приближения
		U1(I1)		(2)	U2(I2)	(1)	U3(I3)	(3)
	I1 U1 U				2 I2	I3 U3 E3 E3
				I1 ........... E3			E3 и т.д.

		E E n
			3	3 100 % – погрешность
			E3
Зависимость «критерий в функциистартовой величины»,						I1
покоторой определяется реальноезначениетока I1,						I1
						I1
	( E3 I1).								I1(E3)
						I1
Окончательный расчет:						I
U1(I1)	(2)	U2	(I2)		(1)
						1
I1 U1 U2		I2							E3
I3	U3(I3)	(3)				E	E E
	U3 E3								E
						3	3	3	3
3. Расчет нелинейных цепей постоянного тока с использованием вычислительного
комплекса MathСad
При аналитическом решении задач в среде Mathcad для рассматриваемой цепи с НЭ со-
ставляется система нелинейных уравнений по законам Кирхгофа относительно выбранных
независимых переменных (U или I). Численное решение системы нелинейных уравнений
осуществляется посредством вычислительного блока Given – Find и соответствующих прило-
жений программы с учетом заданных функционально или таблично характеристик НЭ.
Порядок действий:

выбираются независимые переменные (напряжения или токи);

вводятся таблицы ВАХ НЭ (в виде столбцовых матриц (векторов) напряжения и тока);

выбирается процедура получения функции по независимой переменной (например, определение напряжения по току) с использованием той или иной интерполяции дискретных участков характеристик НЭ. Как правило, интерполяция осуществляется кубическими сплайнами (в грубом приближении интерполяция может быть линейной);

определяются начальные приближения для каждой из независимых переменных (в качестве начальных приближений независимых переменных выбираются ожидаемые значения);

записывается вводное слово Given;

вводится система нелинейных уравнений на основе законов Кирхгофа, записанных относительно выбранных независимых переменных. В качестве знаков равенства используется оператор логического равенства (панель Boolen);

вводится функция решения системы уравнений Find (X1, X2,…);

для вывода результата послефункцииFind используется оператор численноговывода «=». Если MathCad не может найти решения, следует попробовать сменить независимые пе-

ременные или начальные приближения

Несмотря на то что графический расчет по точности уступает аналитическим методам, он нагляден, удобен для качественного анализа. Кроме того, он помогает выявить условия существования и единственности решения уравнений нелинейной цепи

235

Библиографический список к разделу 21

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 22.6, 23.1, 23.2, 23.6.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 13.1–13.11.

ПРИМЕРЫ

Задача 21.1

Вцепи (рис. 21.1): Е = 5 В; r1 = 0,5 Ом. ВАХ НЭ задана табл. 21.1.

Таблица 21.1

Uн, В

0

1

2

4,5

Iн, А

0

1,5

2

3

Определить I, U1, Uн.

Решение

R

I

Решение задачи можно осуществлять двумя

способами.

E

U1(I)

Uн

Способ А основан на

графическом

расчете

(рис. 21.2) нелинейного уравнения, составленного

по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой

Рис. 21.1

цепи,

E U1(I) Uн(I).

Uн(Iн)

(1)

I	A
	U (I) (U1 Uн) f(I)
3	1	Uн(I)
	I
2
1						E(I)
	1	U1		Uн			U
0		2	3	4	5	6	В
		Рис. 21.2

1.	Строится зависимость Uн(I) Uн(Iн)	по данным
табл. 21.1 с учетом того, что I Iн.
2.	Строится линейная характеристика	U1(I) Ir1
0,5I .
3.	Строится характеристика U1(I) Uн(I) f (I) (по-

средством суммирования абсцисс (напряжений) при одних и тех же значениях ординат (токов)).

4.Строитсявольт-амперная характеристика E(I) 5 В.

5.Тождество (1) удовлетворяется в точке пересечения ВАХ E(I)и U1(I) Uн(I) f (I) .

236	21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Проекция этой точки на ось ординат дает значение тока в цепи I 2,7 A. Абсциссы точек пересечения характеристики I 2,7 A = const (прямая, па-

раллельная оси абсцисс) с вольт-амперными характеристиками U1(I)и Uн(I)

дают значения напряжений на отдельных элементах цепи: U1(I) 1,3 В;

Uн(I) 3,7 В.

Ответ: I = 2,7 А; U1 =1,3 В; Uн = 3,7 В.

Способ Б (метод пересечения характеристик) основан на графическом расчете (рис. 21.3) нелинейного уравнения, вытекающего из уравнения (1), составленного по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи (рис. 21.1),

E U1(I) Uн(I).

(2)

Строится

вольт-амперная

характеристика

E U1(I) 5 0,5I

(рис. 21.3).

По данным таблицы (с учетом того, что Iн I )

I

A

3

строится вольт-амперная характеристика Uн(I).

2

Uн(I)

E U1

(I)

Точка пересечения вольт-амперных характери-

стик

E U1

(I)

и

Uн(I), в которой удовлетворяется

1

тождество

(2),

определяет величину

тока в цепи

U

I 2,7 А.

Проекция точки пересечения характеристик на

0

1

2

3

4

5

Â

ось абсцисс определяет напряжение на нелинейном

Рис. 21.3

элементе Uн 3,7

В.

Напряжение

на

линейном

элементе

находится

из

соотношения

E Uн

1,3 В.

Задача 21.2

В схеме (рис.

21.4) известно: Uвх = 6 В;

I

r

r = 1,5 Ом; r = 5 Ом. ВАХ НЭ задана табл. 21.2.

I1

I2

1

Таблица 21.2

Uвх

U1

r1

U2

Uн(I)

Uн, В

0

1

2

4,5

Iн, А

1

1,5

2

2,5

Рис. 21.4

Определить I, I1, I2, U1, U2.

237

Решение

Расчет цепи (рис. 21.4) базируется на графическом решении уравнений,

составленных по первому и второму законам Кирхгофа:

I(U2) I1(U2) I2(U2);

(1)

Uвх(I) U1(I) U2(I),

(2)

в которых ВАХ линейных резистивных элементов определяются соотноше-

ниями

U1(I) rI 1,5I ;

(3)

I (U

2

) U2 U2

0,2U

2

.

(4)

1

r1

5

I

A

1. По данным табл. 21.2 строится харак-

теристика I2(U2).

3

I(U2)

U1(I)

2. С

использованием

соотношения

(4)

I Iâõ

I2

строится

вольт-амперная

характеристика

2

Uâõ(I)

I1(U2).

3.В соответствии с уравнением (1) стро-

(U1 U2) f(I)

ится характеристика I(U2) (посредством сум-

1

I2(U2)

I1

мирования ординат (токов) при одних и тех

I1(U2)

же значениях абсцисс (напряжений)). Таким

U2

U

образом, две параллельные ветви заменяются

0

1 2

3

4

5

6

7

8

Â

одной эквивалентной ветвью.

Рис. 21.5

4. По

уравнению (2)

строится входная

вольт-амперная характеристика рассматри-

ваемой цепи U(I) U1(I) U2(I)

(при этом последовательно соединенные ли-

нейный элемент r с характеристикой U1(I) и эквивалентная ветвь с характе-

ристикой U2(I) заменяются одним эквивалентным нелинейным элементом).

5.Строится ВАХ источника напряжения Uвх(I) = 6 В (прямая, параллель-

ная оси ординат).

6.Точка пересечения входной ВАХ цепи U(I)и ВАХ источника напряже-

ния Uвх(I) (в которой удовлетворяется тождество (2)) определяет величи-

ну входного тока цепи I = 2,47 А.

7. В свою очередь, характеристика I(U2) позволяет определить по величине входного тока напряжение на зажимах параллельных ветвей U2 = 2,3 B.

238	21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

8. Найденное значение напряжения U2 позволяет определить по вольт-

амперным характеристикам I1(U2) и I2(U2) токи в параллельных ветвях:

I1 = 0,46 А; I2 = 2,01 А.

9. Напряжение U1 отыскивается по второму закону Кирхгофа:

U1 Uвх U2 6 2,3 3,7 В.

Ответ: U1 = 3,7 В; U2 = 2,3 В; I= 2,47 А; I1= 0,46 А; I2 = 2,01 А.

Задача 21.3
Uн(Iн )		r2		В схеме (рис. 21.6) известно:
Uн		I5		Е = 12 В; r2 = 4 Ом; r3 = 6 Ом;
			I	r4 = 12 Ом; r5 = 2 Ом; ВАХ НЭ задана табл. 21.3.
I1		r5
				2		Таблица 21.3
r3	I3	I4	r4
					В
				U		0	4	10	16
E				н	А	0	1	2	2,5
				I
				н

Рис. 21.6	Определить I1, I5.
Решение
Метод А.
Для расчета тока I1	целесообразно использовать метод эквивалентного

генератора. Для этого всю линейную часть цепи относительно нелинейной

ветви с искомым током необходимо заменить эк-		I1			rэкв
вивалентным генератором с ЭДС Еэкв = Uxx и
	Eэкв
внутренним сопротивлением r . В результате ис-
экв					Uн					Uн(I)
ходная цепь принимает вид, представленный на
рис. 21.7.
Графический расчет одноконтурной нелиней-
					Рис. 21.7
ной цепи (рис. 21.7) позволяет определить величину
напряжения Uн и тока I1 в нелинейном элементе. Токи внутри оставшейся
линейной части схемы (в частности, ток I5) могут быть найдены							аналити-
чески с помощью законов Кирхгофа.

1. Определение параметров эквивалентного генератора.

239

Расчет ЭДС эквивалентного генератора (рис. 21.8):

I3x			E						12	1,2	A;
	r		r4(r2	r5)				6	12(4 2)
3			r r r						12 (4 2)
		4		2	5

I5x I3x		r4		1,2	12	0,8 A;
	(r	r	) r		4 2 12
2		5	4

Uxx Uxxab I3xr3 I5xr5 1,2 6 0,8 2 8,8 B;

Eýêâ Uxx 8,8 B.

Определение внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

(рис. 21.9):

			r	r				r3r4				4		2			6 12
		2				5	r3 r4
r	r															6 12						2,4 Ом.
																		6 12
ýêâ	âõab							r3r4				4			2
			r		r
		2				5												6 12
								r3 r4

		r		r2
		2
		b
	Uхх	I5х		r5
		r
		5	r3	r4
a	r3	r4
	I3х	E

Рис. 21.8

Рис. 21.9

Определение величины искомого тока в ветви с НЭ и напряжения на его зажимах (рис. 21.6).

Выполняется графический расчет нелинейного уравнения

Eэкв rэквI1 Uн(I1),

составленного по второму закону Кирхгофа для цепи (рис. 21.7).

240

21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I

A

Рабочая

точка

режима

определяется

(рис. 21.10) пересечением вольт-амперных ха-

2

рактеристик Uн(I1) и

I1

Eýêâ rýêâI1

(E

r

I ) 8,8 2,4I .

1

U

(I )

ýêâ

í

ýêâ

1

1

1

При этом Uн 5,6

В; I1 1,35 А .

Uí

U

Определение тока I5 (рис. 21.6). Из пер-

0

2

4

6

8

10 Â

вого закона Кирхгофа вытекает

Рис. 21.10

I5 I1 I2.

В свою очередь, из второго закона Кирхгофа следует

U2 r2I2 E Uн 12 5,6 6,4 В.

Отсюда

I2 U2r2 1,6 А.

В результате

I5 I1 I2 1,35 1,6 0,25 А.

Ответ: I1 1,35 А ; I5 0,25 А.

Метод Б. Аналитическое решение задачи в программе MathCad. Численное решение системы нелинейных уравнений выполняется в Math-

Cad с помощью вычислительного блока Given–Find по алгоритму, приведенному в основных сведениях.

Текст рабочего документа MathCad с решением задачи относительно напряжений ветвей приведен далее:

Исходные данные
E 12	R2 4	R3 6	R4 12	R5 2

1.При решении задачи в качестве независимых переменных выберем напряжения ветвей

2.Ввод таблицы ВАХ НЭ

Uíý ( 0 4 10 16)T

Iíý ( 0 1 2 2.5 )T

	Uнí((IнI)í )			R2
	Uí		I5	U2
	I1	U5	R
			5	I2
	R3	I3	I4
				R4
	U3			U4
	E			IE

241

3. Инструмент получения функции (тока в данном случае)

по независимой переменной (напряжению) нелинейного резистора

I1 U1 interp cspline(Uíý Iíý) Uíý Iíý U1

4. Определение начальных приближений независимых переменных

U1 8 U2 8 U3 8 U4 8 U5 8 5. Решение системы уравнений с помощью вычислительного блока

Given

I1 U1

U5

U2

0

R

R

5

2

U5

U4

U3

0

R5

R4

R3

U1

U5

U3

0

U2

U4

U5

0

U3

U4

E

0

Система линейных и нелинейных уравнений, составленная по законам Кирхгофа, относительно независимых переменных (в данном случае - напряжений). Здесь применяется оператор

логического равенства (панель Boolen).

UFind U1 U2 U3 U4 U5

6.Вывод результата:

UT ( 5.619

6.381 5.079

6.921

0.54 )

U1 5.619

U2 6.381

U3 5.079

U4 6.921

U5 0.54

7. Определим токи ветвей по найденным напряжениям

I1 I1 U1

I2

U2

I3

U3

I4

U4

I5

U5

IE I2 I4

R

R

R

R

2

3

4

5

I1 1.325

I2 1.595 I3

0.846 I4

0.577

I5

0.27

IE 2.172

8.Проверим соблюдение баланса мощности Генирируемая мощность

Pãåí E IE

Pãåí 26.064