Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Аналогичные рассуждения можно проводить для произвольных

.

Из каждого столбца, на-

чиная со 2-го, вычтем предыдущий столбец, умноженный на :

			.
Разложим определитель по 1-й строке, затем вынесем общие
множители	из	каждой	строки:

.

Полученный определитель также является определителем Ван-

дермонда, но порядка	.
Таким образом, имеем рекуррентное равенство:
Это соотношение выражает определитель Вандермонда порядка
через определитель порядка	.
Далее выражаем определитель Вандермонда порядка
через определитель порядка	:
			.
Продолжая этот процесс, получим выражение исходного опре-
делителя через определитель Вандермонда порядка		и	,
для которых у нас уже есть результат.

33

Таким образом, определитель Вандермонда равен произведе-

нию всевозможных разностей			, где	:
					.
Например,		для	имеем:
				.
Заметим, что определитель Вандермонда обращается в нуль то-
гда и только тогда, когда среди чисел				есть равные.
Пример 1. Не вычисляя сам многочлен					, найти все

его действительные корни.

Корни многочлена — это числа, в которых многочлен обраща-

ется в нуль. Здесь многочлен		выражается через определитель
Вандермонда 3-го порядка, где		,	,	.
Определитель Вандермонда обращается в нуль тогда и только
тогда, когда среди чисел		есть равные. Следовательно, надо
проверить условие равенства переменных ,				:
	. Действительные корни многочлена:

1.2. МАТРИЦЫ

1.2.1. Виды матриц, равенство матриц

Опр. Матрицей размером	называется прямоугольная таб-
лица чисел, содержащая строк и	столбцов:
	.

Числа называются элементами матрицы.

Матрица, полученная из данной матрицы заменой всех строк на соответствующие столбцы, называется транспонированной:

34

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей:

.

Матрица, состоящая из единственной строки, называется матри- цей-строкой:

.

Матрица, состоящая из единственного столбца, называется мат- рицей-столбцом:

.

Матрица, имеющая одинаковое число строк и столбцов, называется квадратной матрицей:

				.
Элементы		,	, …,	образуют главную диагональ, а эле-
менты	,	, …,	образуют побочную диагональ квадратной

матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, называется верхнетреугольной матрицей:

.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, называется нижнетреугольной матрицей:

35

.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше и ниже главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей:

.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей:

.

Равенство матриц

Опр. Две матрицы

и

называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

.

1.2.2. Линейные действия с матрицами и их свойства

К линейным действиям с матрицами относятся: сложение, вычитание матриц и умножение матрицы на число.

1. Сложение и вычитание матриц.

Опр. Суммой 2-х матриц одинакового размера называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов данных матриц; разностью этих матриц называется матрица того же размера, элементы которой равны разности соответствующих элементов данных матриц:

36

,

A B

;

A	B	.
Пример 1. A	, B
A	B	,
A B		.

Свойство нулевой матрицы:

A A A (для любых матриц A и одинакового размера).

2. Умножение матрицы на число.

Опр. Произведением матрицы A на число λ называется матрица того же размера, что и матрица A, элементы которой есть произведения соответствующих элементов матрицы A на число λ:

, λ — число

λ A

.

Пример 2. A

, λ

2 2 A 2

.

Умножение матрицы на числа

37

A ; A A.

Опр. Матрица, у которой все элементы противоположны элементам данной матрицы A, называется противоположной матрицей.

Обозначение:			.
	Противоположная матрица может быть получена умножением
матрицы A на число				:	A	A.
Свойства противоположной матрицы:
			A	( A)	; A B	A	( B).
		Свойства линейных действий с матрицами
	Пусть A, B, C — матрицы одинаковых размеров; λ, α, β — дей-
ствительные числа. Тогда справедливы следующие свойства.
1.			(коммутативность сложения матриц).
2.					(ассоциативность сложения матриц).
3.				(однородность относительно умножения на чис-
ло).
4.				(дистрибутивность относительно сложения
чисел).
5.				(дистрибутивность			относительно сложения
матриц).
6.				(свойство нулевой матрицы).
7. A	(	A)	(свойство противоположной матрицы).
8.	A	;	A A (свойства умножения на				и на ).

1.2.3. Умножение матриц и его свойства

Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец Опр. Произведением матрицы-строки на матрицу-столбец с

одинаковым количеством элементов называется число, равное сумме произведений соответствующих элементов матриц:

.

38

Пример 1. A

, B

A B

.

Умножение согласованных матриц

Опр. Матрицы A и B — называются согласованными для умножения A B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B: Am, k и Bk, n — согласованные матрицы для умножения A B.

Рассмотрим согласованные матрицы Am, k и Bk, n для умножения A B. Разобьем матрицу A на строки, а матрицу B — на столбцы:

		,
матрица-строка,		;
			,	—
матрица-столбец,		.
Вычислим	произведения матриц-строк		на матрицы-столбцы
,	;	.
Опр. Произведением согласованных матриц Am, k и Bk, n называ-
ется матрица Cm, n элементы которой равны			,	;
.

.

Пример 2. Матрицы: A

и B

согласованы

для умножения A B и B A. Найдем эти произведения матриц.

39

A B

.

					B	A	.
				Свойства умножения матриц
	Пусть A, B, C,				, — согласованные матрицы;		λ — действи-
тельное число. Тогда справедливы следующие свойства.
1. (A	B)	C	A	(B	C) (ассоциативность умножения матриц).
2. λ ( A		B)	(λ	A) B (однородность умножения).
3. (A	B) C		A C		B C (дистрибутивность относительно сложения
матриц).
4. A (B		C)	A B		A C (дистрибутивность относительно сложения
матриц).
5. A		,	A		(свойство нулевой матрицы).
6. A		A,	A	A (свойство единичной матрицы).
		Свойства, связанные с транспонированием матриц
	1. (AT)T		A; 2. (A B)T AT			BT;
	3. (λ A)T		λ AT; 4. (A B)T BT AT.
		Свойства, связанные с определителями матриц
	Пусть A,		, — квадратные матрицы размера				). Тогда:
40

1. det (AT) = det A (определители транспонированной и самой матриц равны).

2. det	(определитель нулевой матрицы равен нулю).
3. det	(определитель единичной матрицы равен единице).
4. det ( A)	n det A (определитель противоположной матрицы).
5. det (λ A)	λn det A (определитель произведения матрицы на чис-
ло).

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового размера равен произведению определителей этих матриц:

			.
Доказательство этой теоремы можно найти в [1].
	1.3.4. Обратная матрица и ее свойства
Пусть A		— квадратная матрица.

Опр. Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее

определитель равен нулю:

A вырожденная матрица det A , в противном случае матрица называется невырожденной.

Пример 1. A — вырожденная матрица, т. к. det A

.

Опр. Матрица B называется обратной матрицей к матрице A, если выполняются равенства:

A B и B A , где — единичная матрица. Теорема 1 (о единственности обратной матрицы).

Если обратная матрица существует, то она единственна. Доказательство. Пусть обратная матрица не единственна. Тогда

существуют по крайней мере две обратные матрицы: B1 и B2. Для этих матриц справедливы следующие равенства:

и

41

Составим цепочку равенств:
. Получили:	. Следовательно, раз-

ных обратных матриц для данной матрицы быть не может. Теорема доказана.

Теорема 2 (об отсутствии обратной матрицы для вырожденной матрицы).

Для вырожденной матрицы обратная матрица не существует.

Доказательство. Пусть		— вырожденная матрица, т. е.
det	. Предположим, что существует матрица B, которая является
обратной к матрице . Тогда выполняется равенство:				. Со-
ставим	цепочку равенств:	(	)
	. Получили:	. Полученное противоречие показы-

вает, что предположение о существовании обратной матрицы невер-

но. Теорема доказана.

Обозначение для обратной матрицы: B

.

—

Из определения обратной матрицы:

(

единичная матрица).

Теорема 3 (о существовании обратной матрицы для невырож-

денной матрицы).

Для любой невырожденной матрицы A существует обратная

матрица, которая вычисляется по формуле:

,

где

— алгебраическое

дополнение элемента

,

;

;

det .

Доказательство. Для доказательства теоремы надо проверить

два равенства:

1)

и 2)

.

42