Контрольные задания по теме

I. Общая теория множеств

В.1. 1. Выразить с помощью теоретико-множественных операций в виде формулы заштрихованное множество на диаграмме Венна:

2. Построить взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел N на множество рациональных чисел из интервала [0,2].

В.2. 1. Доказать по методу математической индукции, что:

1 + 4 + 7 + … + (3n - 2) = n·(3n - 1)/2.

2. Доказать второй закон де Моргана алгебры множеств.

В. 3. 1. Изобразить на полной диаграмме пересечений Венна множество, задаваемое формулой В  (A  В  С).

2. Привести на множестве Х = {0,1} примеры двух отношений:

а) антирефлексивного и симметричного,

б) не рефлексивного, не антирефлексивного, но антисимметричного.

В. 4. 1. Доказать по методу математической индукции, что при любых натуральных n справедливо: 4²ⁿ +5ⁿ –1 кратно 20.

2. Проверить (доказать или опровергнуть), будет ли формула (А  В)  (А\В) теоремой алгебры множеств.

В. 5. 1 Проверить (доказать или опровергнуть), будет ли формула (A  B)  (А  B) теоремой алгебры множеств.

2. Проверить, будет ли отношением эквивалентности на множестве натуральных чисел N отношение, задаваемое предикатом Р(х, у)=” х² + у² = 25 “.

В. 6. 1. Выразить с помощью теоретико-множественных операций в виде формулы заштрихованное множество на диаграмме Венна:

2. Привести собственный пример множеств А и В и отображения f : A B, которое является сюръективным, но не инъективным. Ответ обосновать.

В. 7. 1. Доказать по методу математической индукции, что при любых натуральных n выражение 2²ⁿ +3^{2n -}1 кратно 6.

2. Проверить (доказать или опровергнуть), будет ли формула (A  B)   А   В теоремой алгебры множеств.

В. 8. 1. Выразить с помощью теоретико-множественных операций в виде формулы заштрихованное множество на диаграмме Венна:

2. Доказать эквивалентность множества точек трехмерного шара единичного диаметра и множества точек куба с единичной длиной ребер.

В.9.1. Привести пример формул составных множеств F₁(А,В,С), F₂(А,В,С) таких, что равенство F₁(А,В,С) = F₂(А,В): а) выполняется для попарно непересекающихся исходных множеств А, В, С и б) не выполняется для пересекающихся А,В,С .

2. Найти мощность множества точек на одном витке спирали c радиусом R и шагом Р, задаваемом параметрическим уравнением:

x = Rsint, y = Rcost, z = Pt, 0  t  2.

В. 10. 1. Изобразить на полной диаграмме пересечений Венна множество, задаваемое формулой  А  В ( A  (С\В)).

2. Ввести отношения а) строгого и б) нестрогого порядка на множестве векторов на евклидовой плоскости. Исследовать линейность порядков, наличие наименьшего и наибольшего элементов.

В. 11. 1. Привести примеры непустых множеств А, В и С, для которых формула А  В  С = С : а) справедлива и б) несправедлива.

2. Найти мощность точек плоскости, ограниченное эллипсом 4х²+у² =1.

В. 12. Можно ли придумать пример множества А, для которого не выполняется закон исключения третьего? Ответ обосновать.

2. Будут ли задавать отношение эквивалентности на множестве натуральных чисел N предикаты: а) Р(х,у) =”х - у =1“, б) Q(х,у)=”х - у =0“.

В.13. 1. Доказать по методу математической индукции, что при любых натуральных n справедливо: 0 + 2 + 6 + … +(n² - n) = n·(n² -1)/3.

2. Можно ли построить взаимно однозначное отображение множества чётных натуральных чисел N₂ на множество вещественных чисел из интервала [0; 0,1] ? Ответ обосновать.

В. 14. 1. Изобразить на полной диаграмме пересечений Венна множество, задаваемое формулой (B\A)  (С  А\B).

2. Привести пример отображения на множестве геометрических фигур, которое однозначно, но не взаимно однозначно.

В.15. 1. Привести пример непустых множеств А,В,С, для которых (АВ, АС, ВС) и одновременно справедливы формулы А  В  С = С , А  В  С = А .

2. Проверить (доказать или опровергнуть), будет ли формула A\B  A теоремой алгебры множеств.

В. 16. 1. Доказать по методу математической индукции, что разность 3²ⁿ - 5ⁿ при любых натуральных n  2 кратна 4.

2. Ввести отношение частичного порядка на множестве квадратичных парабол на плоскости, задаваемых формулой у = ах² + bx + c . Исследовать линейность порядка, наличие наименьшего и наибольшего элементов.

В. 17. 1. Изобразить на полной диаграмме пересечений Венна множество, задаваемое формулой  (А  В )  С.

2. Заданы множества Х = {, , O} и Y = {a, b, c}. Построить декартовы произведения Х Y, Y Х и декартов квадрат Х².

В. 18. 1. Выразить с помощью теоретико-множественных операций в виде формулы заштрихованное множество на диаграмме Венна:

2. Доказать справедливость для любых множеств А и В следующего соотношения: если А  В, то  В   А.

В. 19. 1. Проверить (доказать или опровергнуть), будет ли формула (А  В)  А теоремой алгебры множеств.

2. Привести пример взаимно однозначного отображения множества натуральных чисел N на декартов квадрат N ² .

В. 20. 1. Изобразить на полной диаграмме пересечений Венна множество, задаваемое формулой В (A  С  В).

2. Можно ли построить взаимно однозначное отображение множества вещественных чисел из [0; 1] на множество рациональных чисел из интервала [-; + ]? Ответ обосновать.

В.21. 1. Изобразить на полной диаграмме пересечений Венна множество, задаваемое формулой А  (В   С).

2. Привести на множестве Х = {А, B, C, D} пример отношения, которое рефлексивно, симметрично, но не транзитивно.

В. 22.1. Доказать по методу математической индукции, что при любых натуральных n справедливо неравенство:

1² + 3² + 5² + 7² +…+(2n-1)²  n (2n-1)  (2n+1)/3.

2. На декартовом квадрате множества Х = {0; 1; 2} задать при помощи предиката отношение эквивалентности, разбивающее Х² на два класса эквивалентности.

В. 23.1. Выразить с помощью теоретико-множественных операций в виде формулы заштрихованное множество на диаграмме Венна:

2. Привести примеры непустых множеств А и В, для которых формула  А  В =  А: а) выполняется и б) не выполняется.

В. 24. 1. Привести пример двух формул составных множеств F₁(А, В, С), F₂(А, В, С) таких, что: а) для попарно непересекающихся исходных множеств А, В, С выполняется равенство F₁(А, В, С) = F₂(А, В, С) , б) для пересекающихся А, В, С выполняется строгое включение F₁(А, В, С)  F₂(А,В,С) .

2. Привести собственный пример множеств А и В и отображения f : A B, которое является инъективным, но не сюръективным. Ответ обосновать.

В. 25.1. Для множеств Х = {α, , } и Y = {1; 2; 3; 4}. Построить следующие декартовы произведения: Х Y, Y Х, Х³ и Y².

2. Найти мощность множества точек на гиперболе у = 1/(х-2) при х (3; +).

В. 26. 1. Изобразить на полной диаграмме пересечений Венна множество, задаваемое формулой  (А  B )  С .

2. Привести на множестве Х = {, , O} пример отношения, которое антирефлексивно и не транзитивно.

В. 27. 1.Проверить, будут ли приведенные ниже записи формулами алгебры множеств: а) А  В А   В, б) (B С) =A, в) А  В  В. Ответ обосновать.

2. Проверить справедливость аксиом для отношения на множестве Х = {0; 1; 2; 3}, заданного таблицей

	0	1	2	3
0	-	+	+	-
1	+	-	+	-
2	+	+	-	-
3	+	+	+	-