4.2. Переводы целых чисел в позиционных системах счисления

С помощью позиционных систем с постоянными основаниями можно представить точно либо приближенно (с любой заданной точностью) любое вещественное число.

Из позиционных систем счисления проще всего двоичная, с основанием 2, где числа записываются с помощью символов из множества Е₂ ={0, 1}. Единица старшего разряда равна двум единицам предшествующего. Для записи числа в этой системе его разлагают по степеням основания 2. Например, для числа 125₁₀ = 12⁶ + 12⁵ +12⁴+ 12³ + 12² + 12⁰ = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1. Т. е. двоичная запись числа 125₁₀ имеет вид: 1111101₂. В силу своей простоты двоичная система нашла широкое применение в различного рода вычислительных и управляющих устройствах, так как для ее физической реализации достаточно обеспечить только два состояния логических элементов: «да — нет», «включено — выключено» и т. д. Двоичная система также служит модельной при исследовании структурных свойств множеств и логических объектов.

4.2.1. Перевод целых чисел из произвольной системы с постоянным основанием р  10 в десятичную систему

Для выполнения данного преобразования применяют развернутую форму представления целых двоичных чисел, т.е. искомое десятичное число представляют в виде суммы цифр числа, умноженных на степени основания p, равные номеру соответствующего разряда. После расчета слагаемых и их суммирования получается искомая десятичная запись числа.

Пример 1. Переведем в десятичную систему двоичное число 1101001₂.

Решение. Последовательно записываем разложение числа по степеням основания 2 (развернутая форма представления), выражаем полученные степени в десятичной системе и суммируем:

1101001₂ = 12⁶ + 12⁵ + 12³ + 12⁰ = 64₁₀ + 32₁₀ + 8₁₀ + 1₁₀ = 105₁₀.

Пример 2. Перевести в десятичную систему счисления число, представленное в шестнадцатеричной системе счисления как 8DВ4₁₆.

Решение. Записываем развернутую форму представления числа по степеням 16, выражаем полученные степени в десятичной системе счисления и суммируем:

8DВ4₁₆ = 8  16³ + D  16² + B  16¹ + 4  16⁰ = 8  4096 + 13  256 +  11  16 + 4 = 32768₁₀ + 3328₁₀ + 176₁₀ + 4₁₀ = 36276₁₀.

4.2.2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в системы с произвольными постоянными основаниями p  10

Проще всего разложить десятичное число по степеням основания p последовательным многократным делением его на p. При этом остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют обратную двоичную запись числа.

Пример 3. Перевести в двоичную систему число 23₁₀.

Решение. Последовательно делим заданное число и его частные на 2, выделяя подчеркиванием остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное:

23  2

22  11  2

1 10  5  2

1 4  2  2

1 2  1

0

Двоичную запись числа получаем, располагая подчеркнутые числа в обратном порядке: 23₁₀ = 10111₂.

Пример 4. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления число 8150₁₀.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 16, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

8150  16

8144  509  16

6 496  31  16

13 16  1

15

Искомую запись числа получаем, переводя все подчеркнутые числа в шестнадцатеричную систему счисления (13₁₀ = D₁₆, 15₁₀ = F₁₆) и располагая их в обратном порядке: 8150₁₀ = 1FD6₁₆.

Пример 5. Перевести в систему счисления с основанием p = 7 число 5162₁₀.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 7, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

5162  7

5159  737  7

3 735  105  7

2 105  15  7

0 14  2

1

Запись числа в системе p = 7 получаем, располагая все подчеркнутые числа в обратном порядке: 5162₁₀ = 21023₇.

4.2.3. Перевод целого числа из системы счисления с основанием p = 2^s в двоичную систему счисления

Данные преобразования являются одними из наиболее распространенных при анализе числовой информации. Переходы между системами счисления с основаниями вида p = 2^s, являющимися степенями 2, проще (с наименьшим числом операций) выполнять через двоичную систему. Для быстрого перевода числа из системы с p = 2^s в двоичную все значащие цифры числа (в том числе и 0), стоящие в разрядах числа, заменяют их двоичными записями длины s. Если в самых старших разрядах записи (слева) оказались стоящие подряд нули, их можно отбросить, как незначащие.

Пример 6. Перевести в двоичную систему счисления число, представленное в восьмеричной системе счисления: 3076₈.

Решение. Так как 8 = 2³, то s = 3. Представляя по очереди цифры в разрядах числа их двоичными записями длины s = 3, получим: 3₈ = 011₂, 0₈ = 000₂, 7₈ = 111₂, 6₈ = 110₂.

Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль в первой записи, получим искомый ответ: 3076₈ = 11000111110₂.

Пример 7. Перевести в двоичную систему счисления число, представленное в шестнадцатеричной системе счисления как 2А0D₁₆.

Решение. 16 = 2⁴, s = 4. Все цифры в разрядах числа поочередно заменяем их двоичными записями длины s = 4:

2₁₆ = 0010₂, А₁₆ = 1010₂, 0₁₆ = 0000₂, D₁₆ = 1101₂.

Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащие нули в первой записи, получим: 2А0D₁₆ = 10101000001101₂.

4.2.4. Перевод целого числа из двоичной системы счисления в систему с основанием p = 2^s

При переводе целого числа все его цифры в разрядах двоичной записи числа, начиная с младших (стоящих справа), разбивают на группы длины s. Если последняя группа получилась длины, меньшей s, ее спереди дополняем незначащими нулями. Затем двоичные числа в полученных группах заменяют цифрами в системе с основанием p = 2^s и объединяют в одну запись, которая и является искомым выражением.

Пример 8. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число 1011010011₂.

Решение. 16 = 2⁴, s = 4. Разбиение на группы длины s = 4 с дополнением первой группы из двух цифр двумя незначащими нулями дает следующие двоичные числа: 0010, 1101, 0011.

Заменяем их числами в шестнадцатеричной системе счисления: 0010₂ = 2₁₆, 1101₂ = D₁₆, 0011₂ = 3₁₆ и записываем слитно. В итоге получаем искомую запись числа: 1011010011₂ = 2D3₁₆.

Пример 9. Перевести в четверичную систему счисления двоичное число 11101111000₂.

Решение. 4 = 2², s = 2. Разбиение на группы длины s = 2 с дополнением первой группы одним незначащим нулем дает следующие двоичные числа: 01, 11, 01, 11, 10, 00.

Заменяем их числами в четверичной системе счисления: 01₂ = 1₄, 11₂ = 3₄, 01₂ = 1₄, 11₂ = 3₄, 10₂ = 2₄, 00₂ = 0₄ и записываем слитно. В итоге получаем искомую четверичную запись числа: 11101111000₂ = 131320₄.