4.3.2 Перевод правильных дробей из системы с основанием p  10 в десятичную систему счисления

Единица разряда с номером (–k) у дроби в системе счисления с основанием p = 2^s в десятичной системе счисления равна десятичному числу (2)^–ks = (0,5)^ks. Поэтому перевод дроби, имеющей запись A_p = 0,_–1 ..._–k в системе счисления с основанием p = 2^s, в десятичную систему счисления производят по формуле:

A₁₀ = _–1(0,5)^s + ... + _–k(0,5)^ks.

Пример 9. Перевести в десятичную систему счисления восьмеричную дробь 0,26₈.

Решение. С учетом того, что 8 = 2³, s = 3 получим:

А₁₀ = 2  (0,5)³ + 6  (0,5)⁶ = 2  0,125 + 6  0,015625 = 0,25+  0,09375 = 0,34375₁₀.

Ответ:0,26₈ = 0,34375₁₀.

Если основание p не равно степени 2, то перевод дроби в десятичную систему проще осуществлять по следующему общему правилу. Вначале дробную часть представляют в виде единой обыкновенной дроби m/n. Выполняя деление m на n в десятичной системе (любым способом), получаем искомую десятичную дробь. Если она конечна, то найдено точное решение задачи.

Если полученная дробь бесконечная и задана точность, с которой она должна быть определена (число k знаков после запятой), то оставляем (k + 1) знак в записи дроби, округляем ее, отбрасываем последний знак и получаем искомый ответ.

Если для бесконечной десятичной дроби требуется найти точное выражение, то по ее записи вначале определяют предпериод (постоянную часть после запятой) и период (повторяющуюся часть после предпериода). Точная запись дроби состоит из предпериода и периода, взятого в круглые скобки.

Пример 10. Найти с точностью до 6 знаков после запятой приближенное значение в десятичной системе счисления семеричной (p = 7) дроби 0,165₇.

Решение. Вначале переводим заданную дробь в обыкновенную форму:

0,165₇ = 1 (1 / 7) + 6 (1 / 7)² + 5 (1 / 7)³ = 96 / 343.

Выполняя деление до седьмого знака после запятой, получим:

96 / 343 = 0,2798833… .

Округляя последний знак, получим искомую приближенную десятичную дробь:

0,2798833  0,279883.

Ответ:cточностью до6знаков после запятой0,165₇  0,279883₁₀.

Пример 11. Для шестеричной (p = 6) дроби 0,31₆ найти в десятичной системе счисления:

1) точное выражение,

2) приближенное значение с точностью до 5 знаков после запятой.

Решение. Вначале переводим заданную дробь в обыкновенную форму:

0,31₆ = 3 (1 / 6) + 1 (1 / 6)² = 19 / 36.

Выполняя деление, выделяя предпериод и период, получим искомое точное выражение 1) в периодической форме:

19 / 36 = 0,52777777… = 0,52(7).

Приближенное выражение 2) получим, округляя полученную бесконечную дробь до 5 знака после запятой: 0,52777777…  0,52778.

Ответ:1)0,52(7)₁₀, 2) 0,52778₁₀.

4.3.3 Перевод правильных дробей из системы счисления с основанием p = 2^s в двоичную систему счисления

Рассмотрим также “быстрые” правила перевода дробей. Для осуществления данного перевода из основания p = 2^s в двоичную систему все величины, стоящие в разрядах дроби, заменяют их двоичными записями длины s (со всеми незначащими нулями). Если исходная дробь является периодической, то длина ее периода в двоичной системе счисления может сократиться. Незначащие нули справа в итоговом двоичном представлении можно убрать.

Пример 12. Перевести в двоичную систему счисления правильную конечную дробь, представленную в восьмеричной системе счисления: 0,3076₈.

Решение. 8 = 2³, s = 3. Представляя по очереди цифры дроби их двоичными записями длины s = 3, получим: 3₈ = 011₂, 0₈ = 000₂, 7₈ = 111₂, 6₈ = 110₂.

Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль справа, получим искомое выражение.

Ответ:0,3076₈ = 0,01100011111₂.

Пример 13. Перевести в двоичную систему счисления правильную периодическую дробь, представленную в шестнадцатеричной системе счисления: 0,В58(А)₁₆.

Решение. 16 = 2⁴, s = 4. Представляя по очереди цифры постоянной части и периода дроби их двоичными записями длины s = 4, получим:

В₁₆ = 1011₂, 5₁₆ = 0101₂, 8₁₆ = 1000₂, А₁₆ = 1010₂.

Соединяя полученные двоичные записи, с учетом того, что период в двоичной системе счисления распадается на две одинаковые части, получим: 0,101101011000(10)₂

Ответ:0,В58(А)₁₆ = 0,101101011000(10)₂.

4.3.4 Перевод правильных дробей из двоичной системы счисления в систему с основанием p = 2^s

Перевод производится следующим образом. Начиная со старших разрядов двоичной записи (после запятой), все цифры дроби группируются по s и заменяются цифрами в системе счисления с основанием p = 2^s. Если исходная двоичная дробь является конечной и в последней группе меньше, чем s знаков, ее справа дополняют незначащими нулями до s цифр. Если исходная двоичная дробь является периодической, ее период повторяется до тех пор, пока не определится период в новой системе счисления.

Пример 14. Перевести в четверичную систему счисления правильную конечную двоичную дробь 0,110110011₂.

Решение. 4 = 2², s = 2. Разбивая дробную часть слева направо по два знака и дополняя в последней группе единицу справа незначащим нулем, переводим полученные в группах двузначные двоичные числа в четверичную систему счисления:

11₂ = 3₄, 01₂ = 1₄, 10₂ = 2₄, 01₂ = 1₄, 10₂ = 2₄.

Записывая слитно полученные цифры дроби, получим: 0,31212₄.

Ответ:0,110110011₂ = 0,31212₄.

Пример 15. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления правильную периодическую двоичную дробь 0,110110(011)₂.

Решение. 16 = 2⁴, s = 4.

Разбиваем дробную часть слева направо на группы по 4 знака и переводим двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления. Начиная со второй группы, в них входят цифры из периодов. Их выделим курсивом, начало и конец каждого периода дополнительно показаны скобками. Разбиение на группы и перевод чисел продолжаем до тех пор, пока не получим период в шестнадцатеричной системе счисления, который начинается с группы цифр, образованных периодом двоичного числа:

1101₂ = D₁₆; 10(01₂ = 9₁₆; 1)(011)₂ = В₁₆; (011)(0₂ = 6₁₆; 11)(01₂ = D₁₆; 1)(011)₂ = В₁₆.

Период шестнадцатеричной дроби равен (В6D) Записывая слитно полученные цифры основной части дроби и периодическую часть, получим: 0,D9(В6D)₁₆.

Ответ:0,110110(011)₂ = 0,D9(В6D)₁₆.

4.3.5 Перевод правильных дробей из системы счисления с основанием p = 2^s в систему с другим основанием, равным степени 2

В общем случае перевод проще производить через двоичную систему счисления. При переводе из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную можно использовать связь 4² = 16 и переводить непосредственно пары цифр четверичной записи, отсчитываемые от запятой, в шестнадцатеричные цифры и обратно. В случае периодической дроби период исходной дроби переводится до тех пор, пока не будет найден период искомой дроби.

Пример 16. Перевести в восьмеричную систему счисления правильную периодическую шестнадцатеричную дробь 0,8А9(5Е)₁₆.

Решение. Сначала, используя правило 4.3.3, переводим шестнадцатеричную дробь 0,8А9(5Е)₁₆ в двоичную систему счисления:

8₁₆ = 000₂; А₁₆ = 1010₂; 9₁₆ = 1001₂; 5₁₆ = 0101₂; Е₁₆ = 1110₂;

0,8А9(5Е)₁₆ = 0,100010101001(01011110)₂.

Затем по правилу 4.3.4 переводим полученную двоичную дробь в восьмеричную систему счисления (курсивом выделены цифры, которые взяты из периода, начало и конец каждого периода показаны скобками):

100₂ = 4₈; 010₂ = 2₈; 101₂ = 5₈; 001₂ = 1₈; (010₂ = 2₈; 111₂ = 7₈; 10)(0₂ = 4₈; 101₂ = 5₈; 111₂ = 7₈; 0)(01₂ = 1₈; 011₂ = 3₈; 110)₂ = 6₈; (010₂ = 2₈.

Период восьмеричной дроби найден и равен (27457136). Записывая слитно полученные цифры основной части дроби и периодическую часть, получим: 0,4251(27457136)₈.

Ответ:0,8А9(5Е)₁₆ = 0,4251(27457136)₈.

Пример 17. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления из четверичной правильную периодическую дробь 0,2031223(21303)₄.

Решение. По упрощенному способу перевода из системы счисления с основанием p = 4 в шестнадцатеричную систему счисления (правило 4.3.5) сначала переводим пары цифр постоянной части дроби, отсчитывая их от запятой, затем переводим цифры из периода столько раз, чтобы определить период в искомой шестнадцатеричной записи (курсивом выделены цифры, которые взяты из периода, начало и конец каждого периода показаны скобками):

20₄ = 8₁₆; 31₄ = D₁₆; 22₄ = A₁₆; 3(2₄ = E₁₆; 13₄ = 7₁₆; 03)₄ = 3₁₆; (21₄ = 9₁₆; 30₄ = C₁₆; 3)(2₄ = E₁₆.

Период восьмеричной дроби найден и равен (E739C). Записывая слитно полученные цифры основной части дроби и периодическую часть, получим: 0,8DA(E739C)₁₆.

Ответ:0,2031223(21303)₄ = 0,8DA(E739C)₁₆.

Число, содержащее целую и дробную части, называют смешанным. Для его перевода из одной системы в другую отдельно переводят целую часть, отдельно – дробную.

Пример 18. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления из десятичной смешанное число 7069,2089₁₀. Ответ дать с точностью до 5 знаков после запятой.

Решение. 1. Сначала по правилу 4.2.2 переводим целую часть числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную путем последовательного деления десятичной записи на 16. При этом остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют искомую шестнадцатеричную запись числа в обратном порядке.

7069  16

7056  441  16

13 432  27  16

9 16  1

11

Переводя значения в разрядах в шестнадцатеричную систему счисления и записывая их в обратном порядке, получим: 7069₁₀ = 1B9D₁₆.

2. Затем по правилу 2.2.1 переводим дробную часть десятичной записи в шестнадцатеричную систему счисления путем последовательного умножения исходной дроби на 16. Поскольку необходимо найти 6 знаков после запятой, умножение выполняем 6 раз.

0,2089 0,3424 0,4784 0,6544 0,4704 0,5264

 16  16  16  16  16  16

3,3424 5,4784 7,6544 10,4704 7,5264 8,4224

Переводя значения в разрядах в шестнадцатеричную систему счисления и выполняя округление, получим: 0,2089₁₀  0,357А78₁₆  0,357А8₁₆.

Объединяя целую и дробную части, получим: 1B9D,357А8₁₆.

Ответ:7069,2089₁₀  1B9D,357А8₁₆.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие дроби называют правильными?

2. Какие дроби называют обыкновенными?

3. Какие дроби называют рациональными, а какие ‑ иррациональными?

4. Что называют предпериодом записи рациональной дроби в позиционной системе счисления?

5. Что называют периодом дроби в позиционной системе счисления и как его выделяют в записи?

6. Чем отличаются записи рациональных дробей от записей иррациональных дробей в позиционных системах счисления?

7. Может ли иррациональная дробь иметь конечную запись?

8. Что называют смешанным числом?

Практические задания.

1. Перевести дробь 0,32₁₀ в систему счисления с основанием 3 с точностью до 5 знаков после запятой.

2. Перевести дробь 0,7₉ в десятичную систему счисления

3. Перевести дробь 0,46₇ в десятичную систему счисления. Ответ дать с точностью до 6 знаков после запятой.