Глава 4. Системы счисления

Дискретное (цифровое) представление количественной информации позволило значительно повысить качество выполняемых операций на всех этапах ее обработки - при записи, преобразовании, передаче и хранении.

Для символьного представления количественной информации применяют особые линейные записи, которые называют числами. В записи чисел применяют специальные символы, называемые цифрами. Системой счисления называют набор правил для записи величин в форме чисел, а также для выполнения действий с числами, представленными в данной форме. Применяемая система счисления зависит от вида решаемых задач и используемых для этого вычислительных средств.

Для компьютеров в настоящее время общепринятым стандартом является двоичная система представления чисел, когда элементарная единица памяти (бит) может принимать только два возможных состояния, обычно кодируемые нулем и единицей. Это соответствует двум возможным физическим состояниям элементарных ячеек электронной памяти. Однако в течение нескольких десятилетий исследуются возможности и других систем счисления.

Двоичную информацию в памяти ЭВМ интерпретируют системой счисления с основанием 16 (шестнадцатеричной), что связано с байтовой адресацией памяти, принятой в современных компьютерах и алгоритмических языках.

Позиционными называют системы счисления, в которых числа представляют в виде линейного набора цифр, стоящих в строго определенных пронумерованных местах – разрядах. При этом вклад каждой цифры в общее значение числа зависит как от ее величины, так и от номера разряда, в котором она находится.

Общее правило нумерации разрядов следующее. В целых частях чисел нумерация разрядов возрастает справа налево, начиная с 0. В дробных частях – убывает, начиная от запятой, слева направо, с номера разряда (–1).

В наиболее распространенной позиционной системе счисления, называемой десятичной, 10 единиц младшего разряда составляют одну единицу следующего – старшего. Отношение единицы старшего разряда к единице младшего (p), равное 10, называют основанием системы. Если величина данного отношения постоянна для всех соседних разрядов, то такую систему называют системой с постоянным основанием. Иначе систему называют смешанной, например, при счислении времени “сутки – часы – минуты – секунды”.

4.1. Позиционные системы счисления с постоянными основаниями. Представления целых чисел Рассмотрим общие правила представления количественных величин в позиционных системах счисления.

Величина основания p равна количеству цифр, которые могут быть использованы в данной системе для записи числа в его разрядах. При необходимости ее указывают в конце записи числа в нижнем индексе. Множество цифр, используемых для записи чисел, называют алфавитом позиционной системы счисления. Поскольку десятичную систему исчисления европейцы позаимствовали в средние века у арабов, то ее алфавит – множество цифр {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} – называют арабскими цифрами. В основе десятичной системы лежит счет на пальцах.

По принятому в математике соглашению для позиционных систем с основанием p при p < 10 алфавитом являются начальные арабские цифры от 0 до (p – 1). Например, в системе с основанием 8 алфавитом является множество {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Если же p > 10, то к арабским цифрам добавляют необходимое число начальных букв латинского алфавита. Так, в системе с p = 12 алфавитом будет множество {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B}. Из систем с основаниями p > 10 наиболее употребительной является шестнадцатеричная. В ней для записи значений цифр в разрядах используются целые величины от 0 до (p – 1) = 15. Старшие значения шестнадцатеричных цифр {10, 11, 12, 13, 14, 15}, которым нет аналогов в арабских цифрах, кодируются по общему правилу, соответственно, шестью первыми начальными буквами латинского алфавита {A, B, C, D, E, F} – обычно допускается равноправное использование как больших, так и малых букв.

Для целых чисел в позиционной системе с основанием p вес (стоимость) одной единицы, помещенной в разряд с номером k, равна p^k. Запись вида A_p = _k...₂₁₀ в системе с основанием p означает число, равное сумме

A = _kp^k + ... + ₂p² + ₁p¹ + ₀p⁰.

Данное выражение называют развернутой формой представления целых чисел в позиционной системе счисления.

Пример 1. Запись вида А₁₀ = 295₁₀ в десятичной системе (p = 10), означает целое число, равное A = 2  10² + 9  10¹ + 5  10⁰.

Для компьютеров в настоящее время стандартом является двоичная система представления чисел (p = 2¹), в которой элементарная единица памяти (бит) может принимать только два возможных состояния, обычно кодируемые нулем и единицей.

В непозиционных системах счисления значение цифры в записи числа не зависит от номера разряда, в котором она находится.

Например, в непозиционной римской системе счисления в качестве цифр использованы буквы латинского алфавита. Приведем их обозначения и величины в десятичной системе:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500.

Расшифровка записи чисел в римской системе производится следующим образом. При расположении цифр по невозрастанию слева направо общее число равно сумме всех своих цифр в записи. Если же меньшее число в ней стоит левее большего, то меньшее входит в общую сумму со знаком минус.

Пример 2. CХХVII = 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 127;

CХLIV = 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 144.

Поскольку сегодня наиболее привычной является десятичная система счисления, то для оценки величин чисел их представляют в данной системе.