5.7. Понятие вероятности

Пусть некоторая величина a принимает случайно n значений (например, от 1 до n) и общее число рассмотренных значений величины а (объем выборки) равно N. Обозначим количества значений в выборке, равных 1, 2, …, n, соответственно через k₁, k₂, …, k_n. При этом k₁ + k₂ + … + k_n = N.

Вероятностью р_i (i = 1, …, n), имеющей смысл степени повторяемости значения i в общей выборке, называют отношение

р_i = k_i / N.

Для полного набора вероятностей {p₁, p₂,…, p_n} справедливо условие нормирования:

р₁ + р₂ + … + р_n = 1.

Если все значения величины a имеют одинаковые объемы в общей выборке (k₁ = k₂ = … = k_n), а соответственно и одинаковые вероятности р₁ = р₂ = … = р_n = 1 / n, то данные значения называют равновероятными.

Пример 1. Счетчик элементарных частиц регистрирует образование легких частиц в полтора раза чаще тяжелых. Определить вероятности появления легких частиц и тяжелых частиц.

Решение. Обозначим искомые вероятности появления легких частиц и тяжелых частиц через p_л и p_т. Из условия задачи следует, что p_л = 1,5 p_т. Подставляя данное соотношение в условие нормирования (p_л + p_т = 1), получим: p_т + 1,5 p_т = 1.

Отсюда следует: 2,5 p_т = 1; p_т = 0,4; p_л = 1,5 p_т = 1,5  0,4 = 0,6.

Ответ: p_л = 0,6; p_т = 0,4.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую математическую дисциплину называют комбинаторикой?

2. В чем заключается основная задача комбинаторики?

3. Укажите основные характеристики комбинаторных задач, существенные для подсчета числа вариантов всех комбинаторных объектов, что называют в комбинаторике объемом выборки?

4. Что понимают под сходством-различием размещаемых объектов и выделенных для них мест?

5. Поясните правило сложения.

6. Поясните правило умножения.

7. Поясните правило учета сходства и различия объектов и мест для их расположения при подсчете элементов в комбинаторных множествах.

8. Можно ли применять правило умножения при расчете числа N(C(А)) всех возможных различных наборов вида {a₁, a₂}, у которых 1  a₁  4, 1  a₂  5, a₂ – a₁ = 2?

9. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют размещением, по какой формуле производится расчет общего числа различных вариантов размещений из n по m?

10. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют перестановкой длины n?

11. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют размещением без повторений из n по k?

12. В чем заключается отличие размещений от перестановок и размещений без повторений?

13. По каким формулам производится расчет общего числа различных вариантов перестановок и размещений без повторений?

14. Каким образом может быть применена формула для расчета общего количества размещения без повторения в случае, когда объектов больше, чем мест?

15. Какие способы порождения комбинаторных множеств называют перестановками и размещениями без повторений групп одинаковых объектов?

16. Каким образом могут быть получены расчетные формулы для общего числа комбинаторных объектов в случае перестановок без повторений групп одинаковых объектов?

17. Каким образом могут быть получены расчетные формулы для общего числа комбинаторных объектов в случае размещений без повторений групп одинаковых объектов?

18. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют сочетанием, по какой формуле производится расчет общего числа различных вариантов сочетаний, и каким образом она может быть выведена?

19. Какая задача рассматривается при определении вероятности, и каким образом она вводится?

20. В чем заключается условие нормирования вероятностей ?

21. Какие значения случайной величины называют равновероятными?

Практические задания.

1. Автомат случайно с одинаковыми вероятностями генерирует трехзначные десятичные числа, у которых первая цифра выбирается из набора {7, 8, 9}, вторая независимо – из набора {4, 5, 6}, третья независимо – из набора {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}. Найти вероятности появления каждого из таких чисел.

2. На цветовом табло 3 различных позиции. В каждой из них можно использовать один из цветов: красный, синий, зеленый или желтый. Сколько существует различных вариантов заполнения табло при условиях:

а) цвета могут повторяться в различных позициях,

б) цвета в различных позициях должны обязательно различаться.

3. Сколько существует всего трехзначных целых чисел в системе счисления с основанием 7, у которых в записях присутствуют только нечетные цифры?

4. Красный, зеленый и синий кубики случайно расставляют на пронумерованных клетках квадратной доски размером 33. На одной клетке может быть помещено не более 1 кубика. Какова вероятность выпадения каждого варианта расстановки, если все они равновероятны? Ответ дать формулой.

5. Сколькими способами можно разместить 5 шаров в 8 различных лунках при условии, что 1) все шары одинаковы; 2) все шары различны?

6. На 8 различных местах располагают 3 одинаковых кубика и 5 одинаковых шариков. Сколько существует различных вариантов их расположения?

7. Целочисленная величина принимает четные значения в 3 раза чаще, чем нечетные. Определить вероятность выпадения четных величин и вероятность выпадения нечетных величин.

8. Найти максимальное число мест n, при котором общее число вариантов расположения на них 4 одинаковых объектов не превышает 1000.

9. Найти максимальное число мест n, при котором число вариантов расположения на них (n – 2) различных одинаковых объектов менее 600.

10. Рассчитать максимальное число попарно различных объектов, размещаемых на 4 различных местах не более чем 1300 различными способами.

11. В 2n пронумерованных проточках кольцевой детали устанавливают поочередно детали типов А и В. Число деталей А равно n, деталей B – также n. Найти общее число вариантов их размещения, если детали А попарно различны, а детали типа В одинаковы.

12. Решить задачу 11 в предположении, что все детали В также попарно различны.

13. Сколько различных слов (в том числе – не имеющих смысла) можно получить путем всех возможных перестановок букв в слове «комбинаторика»?

14. Алгоритм обрабатывает пары множеств (порядок в паре не имеет значения) из набора, содержащего 3 одинаковых и 5 попарно различных множеств. Найти общее количество различных способов выбора пар множеств.

15. Множество содержит 4 одинаковых объекта и 4 различных. Сколько существует всех возможных вариантов выборок из данного множества по 6 объектов? Порядок вхождения объектов в выборку не имеет значения.

16. В цехе необходимо расставить 7 новых станков, их которых 3 одинаковы, остальные – различны. Найти общее количество различных вариантов их расстановки на выделенных для этого 8 различных местах.

17. В спортивном состязании присуждается одно первое место, одно второе и два третьих (порядок третьих призеров не имеет различия). Найти общее число вариантов ранжирования призеров при 10 участниках.

18. Сколько существует различных шестизначных чисел в десятичной системе счисления, у которых в записи:

а) ровно две одинаковых цифры,

б) ровно три одинаковых цифры,

в) не менее четырех одинаковых цифр,

г) не более трех одинаковых цифр?

Ответы дать в виде формул.

19. Рассмотрим множество всех полных перестановок { (1, 2, … ... , n ) }, имеющих равные вероятности. Доказать, что:

а) средневероятный вес вектора инверсий перестановок  _и (d) равен n(n-1)/4;

б) количество всех подстановок, у которых в векторах инверсии встречаются только числа от 0 до k включительно, равно N _k = (k+1)^n-k-1(k+1)!;

в) общее число нулей в векторах инверсий всех полных перестановок длины n равно n!(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n);

г) вероятность того, что максимальная компонента вектора инверсий перестановки равна k, выражается числом

р_k = [(k+1)^n-k-1(k+1)! – k ^n-k k!].

7. Доказать, что:

а) число всевозможных частичных перестановок длины k, имеющих ровно один нуль в векторе инверсий, равно ;

б) число всевозможных частичных перестановок длиныk, имеющих ровно k – 1 нулей в векторе инверсий, равно

в) общее число нулей в векторах инверсий всех частичных перестановок длины k {^k_n} равно