4.3. Дробные и смешанные числа в позиционных системах счисления с постоянными основаниями

В позиционных системах счисления вещественные числа представляют при помощи целой и дробной частей, разделенных между собой запятой. И целую часть и дробную записывают при помощи последовательности отдельных знаков, стоящих в разрядах – местах, за которыми закреплен порядковый номер, отсчитываемый от запятой. В целой части отсчет идет от разделяющей запятой справа – налево от 0 и выше. Дробная часть изображается в разрядах, стоящих слева – направо. Номера разрядов в ней убывают от (–1) слева – направо. При этом дробные числа в системах с постоянным основанием р разлагают при переводах по отрицательным (–1,  –2, …) степеням р. Таким образом, запись А_p=0,_–1_–2 …_–s в развернутой форме означает: А_p = _–1p^–1+_–2p^–2+…+_–s p^–s.

Пример 1. 0,47₁₀ = 410^–1 + 710^–2; 0,265₇ = 27^–1 + 67^–2 + 57^–3.

Правильная дробь имеет нулевую целую часть. Результат перевода правильной дроби – всегда правильная дробь. Обыкновенной дробью называется ее представление в виде отношения целых чисел m/n, где m (числитель) – целое число, а n (знаменатель) – натуральное число.

Обыкновенные дроби также называют рациональными. Дроби, не представимые в виде отношения целых чисел m/n, называют иррациональными.

В позиционной системе счисления с основанием p правильная дробь имеет вид (0,_–1_–2 …_–s), представляющий разложение числа по отрицательным (–1, –2, …) степеням p. Все величины, стоящие в разрядах дроби в системе с основанием p, как и у целых чисел, могут принимать значения от 0 до (p – 1).

Дроби, задающие рациональные числа, могут быть конечными и бесконечными (периодическими). У конечной дроби запись обрывается, например 0,247₈. Бесконечная дробь помимо постоянной части (предпериода) имеет периодическую, которая теоретически повторяется в записи бесконечное число раз. Данную часть записи дроби называют периодом. В точной записи дроби данную часть записи приводят один раз в круглых скобках.

Пример 2. Бесконечная шестнадцатеричная дробь 0,В7С(2А)₁₆ имеет предпериод В7С и период, равный 2А. Значение дроби можно представить бесконечной записью вида 0,В7С2А2А2А2А2А…₁₆ = 0,В7С(2А)₁₆.

Замечание. Конечные дроби могут быть представлены частным случаем бесконечных, у которых период равен нулю – (0).

Смешанным называют число со знаком, в котором явно выделены ненулевые целая и дробная части. Смешанные числа в зависимости от способа представления дробной части можно представлять в виде записи с обыкновенной дробью либо записи в позиционной систем счисления.

Пример 3. Смешанное число, приближающее число :

.

Переводы смешанных чисел сводятся к отдельному переводу их целых и обыкновенных дробных частей.

4.3.1 Перевод правильных десятичных дробей в систему счисления с иным основанием p  10

В десятичной системе счисления (p = 10) дроби разлагаются по степеням числа 1/10, а в системах с основаниями вида p  10 – по степеням чисел 1/p. При переходе от десятичной дроби к дроби по иному основанию p коэффициенты нового разложения можно найти, последовательно умножая исходную дробь на новое основание p и отделяя получаемую при этом целую часть. Если процесс обрывается (в дробной части получен 0), то получаемая дробь – конечная; если продолжается (дробная часть ненулевая), то вычисления производят до тех пор, пока не будет получена искомая точность (число знаков после запятой) либо не найден период дроби.

Обычно, если число знаков искомой дроби не оговаривается, в условии задачи имеется в виду поиск ее точного выражения – конечного или в периодическом виде.

Пример 4. Перевести в двоичную систему счисления дробь 0,75₁₀.

Решение.

0,75 0,5

 2  2

1,50 1,0.

В дробной части получен 0, следовательно, искомая двоичная дробь конечная.

Ответ:0,75₁₀ = 0,11₂.

Пример 5. Перевести в двоичную систему счисления дробь 0,8₁₀.

Решение.

0,8 0,6 0,2 0,4 0,8

 2  2  2  2

1,6 1,2 0,4 0,8.

Процесс остановлен, так как найден полный период бесконечной дроби (значение 0,8 получено вновь). Следовательно, искомая двоичная дробь – бесконечная (периодическая). Постоянная часть дроби отсутствует, период равен 1100₂.

Ответ:0,8₁₀ = 0,(1100)₂.

Пример 6. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления дробь 0,22265625₁₀.

Решение.

0,22265625 0,5625

 16  16

3,56250000 9,0000.

В дробной части получен 0, следовательно, искомая шестнадцатеричная дробь – конечная.

Ответ:0,22265625₁₀ = 0,39₁₆.

Пример 7. Перевести в восьмеричную систему счисления дробь 0,65₁₀. Найти полное выражение.

Решение.

0,65 0,2 0,6 0,8 0,4 0,2

 8  8  8  8  8

5,20 1,6 4,8 6,4 3,2

Дробь 0,2 получена повторно, поэтому процесс деления остановлен, так как найден полный период бесконечной дроби – 1463. Постоянная часть дроби – последовательность цифр перед периодом, равная 5.

Ответ:0,65₁₀ = 0,5(1463)₈.

Пример  8. Перевести в систему счисления с основанием 4 дробь 0,035₁₀. Результат определить с точностью до 6 знаков после запятой.

Решение.

0,035 0,14 0,56 0,24 0,96 0,84

 4  4  4  4  4  4

0,140 0,56 2,24 0,96 3,84 3,36

Искомые 6 знаков получены, процесс перевода остановлен.

Ответ:0,035₁₀  0,002033₄.