- •Раздел I. Основы теории множеств. Системы счисления. Комбинаторика
- •Глава 1. Множества, операции с ними. Алгебра множеств
- •1.1. Элементы и множества
- •1.2. Отображения, функции, предикаты
- •1.3. Метод математической индукции
- •1.4. Способы задания множеств
- •Перечисление
- •Задание с помощью логических функций (предикатов)
- •1.5. Предметные операции на множествах. Формула множества
- •1.6. Операции сравнения — логические операции с множествами
- •1.7. Алгебра множеств. Ее формулы, теоремы и законы
- •Глава 2. Мощность множеств
- •2.1. Мощность. Счетные множества
- •2.2. Множества мощности континуум
- •Глава 3. Бинарные отношения на множествах
- •3.1. Определение и способы задания отношений
- •3.1.1. Перечисление (список пар)
- •3.1.2. Матрица
- •3.1.3. Задание отношений при помощи предикатов
- •3.2. Аксиомы на отношениях
- •3.3. Основные типы отношений
- •3.3.1. Отношение эквивалентности
- •3.3.2. Отношение нестрогого (частичного) порядка
- •3.3.3. Отношение строгого порядка
- •3.4. Проверка типов отношений. Решение задач
- •Контрольные задания по теме
- •I. Общая теория множеств
- •Глава 4. Системы счисления
- •4.1. Позиционные системы счисления с постоянными основаниями. Представления целых чисел Рассмотрим общие правила представления количественных величин в позиционных системах счисления.
- •4.2. Переводы целых чисел в позиционных системах счисления
- •4.2.1. Перевод целых чисел из произвольной системы с постоянным основанием р 10 в десятичную систему
- •4.2.2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в системы с произвольными постоянными основаниями p 10
- •4.2.5. Представление двоичной байтовой информации в шестнадцатеричной и десятичной системах
- •4.3. Дробные и смешанные числа в позиционных системах счисления с постоянными основаниями
- •4.3.1 Перевод правильных десятичных дробей в систему счисления с иным основанием p 10
- •4.3.2 Перевод правильных дробей из системы с основанием p 10 в десятичную систему счисления
- •4.4. Арифметические действия с целыми числами в системах с произвольными основаниями. Их компьютерное представление
- •4.4.1 Сложение
- •4.4.2 Вычитание
- •4.4.3. Прямой и дополнительный коды целых чисел. Их представление в памяти компьютера, сложение и вычитание
- •4.5. Двоичные (булевы) векторы
- •4.6. Смешанные позиционные системы счисления. Факториальная система
- •4.6.1. Перевод целых чисел из десятичной системы в смешанную с основаниями р0, р1, ... , рk
- •Глава 5. Комбинаторика
- •5.1. Основная задача комбинаторики. Характеристики комбинаторных задач
- •5.2. Основные правила подсчета чисел комбинаторных множеств
- •5.2.1. Правило сложения
- •5.2.2. Формула включений-исключений
- •5.2.3. Правило умножения
- •5.2.4. Правило учета сходства и различия
- •5.3. Размещения (размещения с повторениями)
- •5.4. Перестановки и размещения без повторений различных объектов. Упорядоченность перестановок
- •5.5. Перестановки и размещения без повторений групп одинаковых объектов
- •5.6. Сочетания
- •5.7. Понятие вероятности
- •Контрольные задания по теме
- •II. Системы счисления. Комбинаторика
1.4. Способы задания множеств
Для задания множества необходимо как-либо указать его элементы на более широком универсальном множестве U, которое вводится явно, либо о нем можно догадаться из постановки задачи. Используют следующие способы.
Перечисление
Все элементы множества А указывают непосредственно: А = {a1, a2, ... , an}.
Пример 1.
1) Множество студентов группы. Задается списком группы.
2) Множество букв русского алфавита. Задается перечислением в алфавите.
Способ прост и позволяет избежать неоднозначных толкований, однако, перечислением могут быть полностью заданы только множества с конечным числом элементов. В зависимости от способа хранения элементов множества лимитирующим фактором для использования перечисления может быть и число элементов – например, предельное число строк в архиве.
Задание с помощью логических функций (предикатов)
На универсальной совокупности U рассматриваемых объектов вводится одноместный предикат P, выполняющий роль характеристической функции задаваемого множества А. Условие включения элемента а в множество А можно представить в виде: а А Р(а).
Пример 2. Введем свойства на расширенном множестве натуральных чисел N:
1) D2(n) = «число n делится без остатка на 2» — свойство выполняется для четных чисел, для нечетных не выполняется.
2) Pr(n) = «число n делится без остатка только на 1 и на самое себя» — свойство выполняется только для простых чисел.
Пример 3. Описания множеств.
1) U = N. Множество четных чисел — с помощью D2(n).
2) U =N. Множество простых чисел — с помощью Pr(n).
3) U = R. Множество решений уравнения sin(х)=0. Для элементов хR общим логическим свойством является «быть решением уравнения sin(х)=0».
Данный способ позволяет задавать как конечные, так и бесконечные множества. Основной недостаток его заключается в том, что при использовании логических функций могут возникнуть парадоксы. Например «парадокс брадобрея». В некотором полку (который принимаем в качестве U) есть брадобрей. Множество А всех его клиентов а задано логическим условием Р(a) = «если а не бреется сам, то он обязан пользоваться только услугами брадобрея». Задание множества A описанием а А Р(а) не коpрeктно, поскольку сам брадобрей не может быть ни включен в А, ни исключен из А.
Утверждения, в которых противоречиво задается принадлежность объектов к тому или иному множеству, известны еще с Древней Греции. Например, известное изречение «Лжец» мудреца Эпименида: «Я утверждаю, что я – лжец». Если говорящий лжец и каждое его высказывание ложно, то его утверждение неверно и он не лжец. Если же допустить, что говорящий не лжец и сказал правду, то отсюда следует, что на самом деле он лжец.
Одну из первых теоретико–множественных формулировок парадоксов дал английский математик Бертран Рассел в письме к Готлибу Фреге: «Будет ли множество M всех множеств, не являющихся своими элементами, своим собственным элементом (MM)?» Если MM , то по определению множества M оно не должно входить само в себя. В случае MM по определению M включение должно быть.
В основе всех рассмотренных парадоксов лежат попытки дать описание логических свойств объекта через сам объект. При этом возникают своего рода «логические кольца». Потенциальная возможность их заложена в самом интуитивном определении множества и его элементов (параграф 1.1), в котором данные понятия взаимосвязано выражаются одно через другое.
Для устранения парадоксов Б. Расселом предложена теория классов, в которой множества строятся по шагам и если построение множества еще не завершено, то его еще нельзя использовать как целостный элемент самого себя.
Второй путь заключается в использовании аксиоматического подхода, при котором вводятся ограничения на свойства множеств, позволяющие избежать появления парадоксов. Обычно используется система аксиом Цермело–Френкеля. Но существуют и другие системы.