Одновременное точное вычисление для шара с kD = 10 и его кубической дискретизации (y = 0.93) позволяет впервые непосредственно разделить ошибки формы и дискретизации в МДД. Ошибки формы это разница между значениями некой величины, вычисленными для дискретизированного шара (с высокой точностью) и для точного шара, а ошибки дискретизации – между вычислением с небольшим количеством диполей (2176) и очень точным решением для дискретизированного шара [первая линия на рис. 11(в)]. Суммарная ошибка есть сумма двух, и на рис. 15

приведены все эти типы ошибок для S11(θ ), взятые относительно эталонного значения для дискретизированного шара, а в таблице 4 показаны аналогичные ошибки для Qext.

2.3.4. Обсуждение

Прежде всего оценим дополнительное время вычислений, требуемое для экстраполяции, по сравнению с одиночным вычислением с ymin [время – t(ymin)]. Время вычисления одной итерации итерационного метода пропорционально NlnN, а Niter лишь немного зависит от y при постоянной геометрии задачи (см. параграф 2.1.4.1).

Следовательно полное время вычислений растёт линейно с N ( y−3) или немного быстрее (если учесть логарифм и неидеальность компьютерной программы), что совпадает с нашими измерениями (данные не приведены). Исходя из расположения точек (см. подраздел 2.3.2) суммарное время вычисления 5 точек t5 < 2.5t(ymin), а 9 – t9 < 2.7t(ymin), при этом памяти требуется столько же, сколько и для одного вычисления с ymin. Для сравнения отметим, что восьмикратное увеличение времени вычислений и используемой памяти (для вычисления с y = ymin /2) уменьшает ошибку лишь в 2-4 раза (в зависимости от режима сходимости вблизи ymin: линейного или квадратичного).

Типичная дискретизация в МДД это y = 0.6, а меньшие y используются только при изучении ошибок или для частиц меньше длины волны (тогда y пропорционально размеру рассеивателя и может быть сколь угодно малым). Но меньшие значения y всегда приходится использовать для достижения лучшей (чем обычно) точности.

Наилучшая экстраполяция для куба [рис. 10(а)] демонстрирует намного бóльшую точность чем наилучшее одиночное вычисление (следует отметить, однако, что это основывается на эмпирической оценке погрешности) – максимальные ошибки более чем на два порядка меньше, что невозможно достичь стандартным МДД, так как это потребовало бы увеличения вычислительных ресурсов (и времени, и памяти) на 6

порядков (для столь малых y сходимость линейная). Даже для ymin = 0.38 можно считать экстраполяцию удовлетворительной, поскольку максимальная ошибка уменьшилась почти в два раза, если ориентироваться на оценку погрешности (реальные ошибки даже

94

меньше). При этом оценка погрешности важна сама по себе (даже если она не меньше чем ошибка одиночного вычисления) поскольку она получается без знания точного решения (которое обычно недоступно на практике). В общем, экстраполяция приводит к более значительному уменьшению больших ошибок чем тех, что уже достаточно малы, например, она может значительно сократить максимальные среди всех θ ошибки S11, но быть менее эффективной для определённой величины (например, S11 для конкретного θ ). Последнее верно для всех проведённых экстраполяций (рис. 10–14 и непоказанные данные).

Результаты экстраполяции для дискретизированного шара (рис. 11) похожи на те,

что для куба: для ymin = 0.058 и 0.12 они очень хороши (уменьшение максимальных ошибок более чем на порядок), в то время как для ymin = 0.23 экстраполяцию с трудом можно назвать удовлетворительной. Последняя, однако, использует только 4 значения y в широком интервале, следовательно не полностью соответствует предписанной процедуре (см. подраздел 2.3.2).

Лучшая экстраполяция для шара с kD = 3 [рис. 12(а)] примерно так же хороша, как и для кубовидных рассеивателей, но для этого используется чрезвычайно малый ymin = 0.018, в то время как при ymin = 0.14 [рис. 12(б)] максимальная ошибка уменьшается только в два раза. Похожее граничное значение ymin для удовлетворительности экстраполяции получается для шара с kD = 10 [рис. 13(б)], а лучшая экстраполяция [рис. 13(а)] показывает хорошие результаты (четырёхкратное уменьшение максимальной ошибки), которые однако существенно хуже чем аналогичные для кубовидных рассеивателей. К сожалению, мы не смогли достичь достаточно малых y для шара с kD = 30, и наилучшая экстраполяция (рис. 14) основана на довольно большом ymin = 0.18, что приводит к лишь незначительному улучшению точности.

Мы также исследовали пористый куб с kD = 8, построенный путём разделения куба на 27 малых кубов и удаления случайно выбранных девяти из них. Все выводы такие же, как и для куба, но в целом ошибки несколько больше (данные не приведены).

Экстраполяция Qext (таблица 3) приводит к похожим результатам, за исключением того, что в целом улучшение точности менее заметное чем для максимальных ошибок

S11(θ ) (что находится в согласии с вышеописанной тенденцией, поскольку ошибки Qext изначально малы). Более того следует иметь ввиду, что ошибки МДД для некоторых ymin неожиданно малы (например, последняя экстраполяция для шара с kD = 3), но это

95

лишь «удачные совпадения» вблизи пересечения функцией δQexty оси абсцисс (см.

рис. 9).

Подытоживая все наши результаты, можно заключить, что ошибки формы существенно ухудшают эффективность экстраполяции ввиду своего непредсказуемого поведения, следовательно экстраполяция более подходит для кубовидных частиц. Можно ожидать удовлетворительную экстраполяцию для некубовидных частиц только если ymin < 0.15, в то время как для кубовидных это условие – ymin < 0.4. Важно отметить, что сама по себе экстраполяция работает для любого ymin, при этом можно использовать оценку ошибки подгонки (СО), чтобы решить была ли экстраполяция удовлетворительной. Качество экстраполяции заметно улучшается с уменьшением ymin, следовательно наибольшая её ценность проявляется при вычислении эталонных (очень точных) значений. Размер частицы, для которых экстраполяция приводит к существенным улучшениям точности, определяется в основном доступными компьютерными ресурсами, требуемыми для достижения достаточно малого ymin. Однако требуется дальнейшее исследование, чтобы проверить эффективность экстраполяции для частиц больших по сравнению с длиной волны.

Важно заметить, что линейная экстраполяция может привести к совершенно неверным результатам (например, при использовании точек на правой части парабол для куба и шара с kD = 3 на рис. 9). Квадратичная экстраполяция, предложенная нами, намного более надёжная.

Для всех экстраполяций мы оценивали погрешность так, как указано в подразделе

2.3.2: 10×СО и 2×СО для кубовидных и некубовидных рассеивателей соответственно. Все результаты подтверждают то, что эта оценка надёжна, т.е. в большинстве случаев реальная ошибка меньше чем эта оценка. Есть только два исключения, оба для шара с kD = 3: четвёртая экстраполяция для Qext (таблица 3) – реальная ошибка в 1.8 раза больше чем оценка – и вторя для S11 – реальная ошибка в 1.5-2 раза больше чем оценка в широком диапазоне θ (данные не приведены). Наличие таких исключений приемлемо, так как оценка имеет статистическую природу доверительного интервала, но эта оценка, хотя и надёжная, часто сильно переоценивает реальные ошибки [например, рис. 12(а)]. Она также чувствительна к расположению значений y – см., например, рис. 11(в), где использовалось необычно разреженное расположение. В целом переоценка ошибок увеличивается с ymin. Таким образом, оценку погрешностей следует улучшить, что является темой дальнейшего исследования. Однако текущая оценка

96

подходит для практических применений, поскольку они в основном требуют надёжность, которая была эмпирически установлена в данном разделе.

Также важно отметить, что мы ограничились одним значением m. Хотя граничные значения ymin для удовлетворительной экстраполяции несомненно зависят от m, ожидается, что остальные выводы, такие как надёжность оценки погрешности, верны в широком диапазоне m. Это легко проверить для любого конкретного значения m с помощью предложенной методологии.

В завершение обсудим результаты, приведённые на рис. 15. Нельзя сказать, что ошибки формы преобладают над ошибками дискретизации (или наоборот): для некоторых θ одни ошибки больше, для других – наоборот. Однако максимальные ошибки, которые достигаются в области рассеяния назад, определённо вызваны ошибками формы (отношение максимальных ошибок формы к – дискретизации примерно 4). Ошибки Qext (таблица 4) вызваны, напротив, в основном дискретизацией, но они почти на два порядка меньше чем максимальные ошибки S11. Можно ожидать, что ошибки формы будут более важны для меньших значений y, поскольку линейная часть ошибок дискретизации значительно меньше чем для ошибок формы, следовательно для больших y ошибки формы практически линейны, а дискретизации – квадратичны. В принципе, единственный приведённый результат также показывает различную угловую зависимость ошибок формы и дискретизации для S11: ошибки формы имеют тенденцию увеличиваться с углом рассеяния, а поведение ошибок дискретизации одинаково во всём диапазоне θ .

Мы предложили простой метод непосредственно сравнивать ошибки формы и дискретизации и только один результат для иллюстрации. Все предыдущие сравнения этих ошибок сталкивались с неотъемлемыми проблемами интерпретации, что приводило к неоднозначности полученных выводов. Наш метод не имеет таких проблем, поэтому его можно использовать для строгого изучения ошибок формы в МДД. В частности, с помощью его можно напрямую измерить эффективность различных методов подавления ошибок формы, например, ВД. В этом случае уровень ошибки дискретизации является пределом для подобных улучшений.

Мы использовали стандартную формулировку МДД (ДСР), чтобы показать, что метод экстраполяции можно использовать с любой существующей программой МДД без каких-либо изменений. Однако, как показано в параграфе 2.2.2.4, некоторые современные улучшения МДД (а именно ИТ и ВД) должны существенно изменить характер сходимости МДД, и следовательно эффективность экстраполяции (см. также подраздел 2.3.4). ИТ должно улучшить качество экстраполяции для кубовидных

97