m =
								1.05
ext	10-2							1.2
Q								1.4
								1.6
ошибка
								1.8
	10-3							2
Относительная								(а)
	10-4
								(б)
>	10-2
<cosθ
ошибка	10-3
Относительная	10-4
	-5
	10
	20	40	60	80	100	120	140	160
				Размерный параметр x

Рис. 19. Относительные ошибки (а) эффективности экстинкции и (б) параметра асимметрии в логарифмическом масштабе для шаров с разными x и m.

назад. Насколько нам известно, это самая большая частица, когда-либо моделированная с помощью МДД. На рис. 22 приведены аналогичные сравнения для шаров с x = 60, m = 1.4 и x = 20, m = 2.

2.4.4. Обсуждение

Сходимость метода КМН, показанная на рис. 17 и состоящая из плато и резких спусков, находится в согласии как с его поведением в общем [144], так и с конкретными примерами его применения в МДД [51,185]. Однако имеется одно отличие – сходимость постепенно замедляется, т.е. логарифм нормы невязки уменьшается медленнее чем линейно по количеству итераций. Вероятно это связано с большим размером рассеивателя и накоплением ошибок округления (см. ниже).

Полное время вычислений t резко увеличивается как с x, так и с m (см. рис. 18),

покрывая диапазон от 4 секунд до 2 недель. При m = 1.05 увеличение t с x в основном происходит из-за увеличения количества диполей, необходимых для описания частицы, так как Niter увеличивается намного медленнее (таблица 5). При бóльших m эти два

106

(θ )									m =
11
S
									1.05
ошибка		101
									1.2
									1.4
									1.6
относительная
									1.8
									2
									(а)
		100
Максимальная
		100							(б)
(θ )
11
ошибка S
СК относительная	10-1
		20	40	60	80	100	120	140	160
					Размерный параметр x

Рис. 20. (а) Максимальные и (б) среднеквадратичные относительные ошибки S11(θ ) в логарифмическом масштабе для шаров с разными x и m.

эффекта сравнимые, что суммарно приводит к примерно степенной зависимости t от x,

показатель которой больше 6 при m ≥ 1.2. Следует заметить, что и Niter, и t не всегда монотонно увеличиваются с x, например, для x = 80, m = 1.2 и x = 30, m = 1.4 времена вычисления необычно велики, что может быть связано с необычно большим числом обусловленности матрицы взаимодействия для этих двух частиц. Более того, когда сходимость медленная, она может ещё ухудшаться ввиду ограниченной машинной точности, в этом случае последняя определяет предельные значения x и m, для которых ADDA вообще сойдётся.

Поэтому текущие ограничения на размер частиц при m ≥ 1.2 связаны с практически неприемлемым временем вычисления, а не с ограничениями по памяти,* – пределы моделирования для бóльших m далеки от ограничения по памяти, показанного

* Граничное значение m не определенно чётко, так как оно зависит от конкретных компьютерных ресурсов и ограничений на вычислительное время; 1.2 это примерное значение для общих рекомендаций.

107

	108	Ми
				103
	107	МДД
	106			102
)	105			1
(θ				10
11
S	104
				170	175		180
	103
	102
	101
	0	30	60	90	120	150	180
			Угол рассеяния θ, градусы

Рис. 21. Результаты МДД (пунктир) в сравнении с теорией Ми (сплошная линия) для S11(θ ) в логарифмическом масштабе для шара с x = 160 и m = 1.05.

на рис. 16. Более того, использование большего количества процессоров само по себе не решит проблему – требуется улучшать численную эффективность итерационного метода, например, с помощью специального предобусловливания. С другой стороны,

увеличения размера при m < 1.2 выполнимо, если доступны бóльшие вычислительные ресурсы. В частности, это делает возможным моделирования светорассеяния практически любыми биологическими клетками в жидкой среде.

Увеличение Niter с m общеизвестно, однако до сих пор не существует его строгого теоретического описания (см. параграф 2.1.4.1). Также существует мнение, что поглощение, т.е. мнимая часть m, должно в целом уменьшить взаимодействие между диполями в большом рассеивателе и следовательно Niter. Однако требуется провести систематическое исследование, чтобы делать определённые выводы.

Другим параметром, влияющим на время вычислений, является уровень остановки итерационного метода εit. В этом разделе мы использовали значение по умолчанию 10−5 [47], что гарантирует пренебрежительно маленькие численные погрешности по сравнению с погрешностью самой модели. Но во многих случаях численные погрешности достаточно малы уже при εit = 10−3, т.е. разница характеристик рассеяния между моделированием с εit = 10−3 и εit = 10−5 значительно меньше чем разница между последним и точным значением (данные не приведены). На рис. 17

108

	106						Ми
							МДД
	105						(а)
)	104
(θ
11
S	103
	102
	101
	104						(б)
(θ )	103
11
S
	102
	101
	100	0	30	60	90	120	150	180
				Угол рассеяния θ, градусы

Рис. 22. То же, что и рис. 21, но для шаров с (а) x = 60, m = 1.4 и (б) x = 20, m = 2.

видно, что для конкретного случая КМН сходится до εit = 10−3 и εit = 2×10−3 в три и шесть раз быстрее соответственно чем до εit = 10−5. Результаты для других моделированных частиц имеют аналогичные тенденции, а в некоторых случаях даже большее ускорение с увеличением εit (данные не приведены). Следовательно определение оптимального εit для конкретной задачи может существенно ускорить вычисления, но в данной диссертации мы не преследуем этой задачи.

На рис. 19(а) видно ухудшение точности Qext с увеличением m (за исключением одного результата для m = 2), в то время как нет чёткой зависимости от x. Результаты для <cosθ > [рис. 19(б)] ведут себя так же. Эти результаты находятся в согласии с результатами других исследователей для меньших размерных параметров (таблица 1), как в отношении самих значений, так и их зависимости от m. Для описания ошибок угловой зависимости S11 мы используем два интегральных параметра: максимальную и СК относительные ошибки (рис. 20). Хотя эти параметры нельзя назвать полностью объективными, поскольку на них существенно влияют значения S11 в глубоких минимумах, которые абсолютно не важны в большинстве реальных экспериментов, они

109

являются согласованной мерой точности МДД. Чтобы показать связь этих интегральных параметров с другими критериями, например, видимыми отличиями, мы приводим три примера на рис. 21 и 22. Ошибки S11(θ ) имеют те же тенденции, что и интегральные характеристики рассеяния, за исключением того, что ошибки при m = 1.05 относительно велики (больше чем аналогичные при m = 1.2 в диапазоне x ≤ 60) и в целом убывают с увеличением x. Это исключение связано с относительным характером показанных ошибок и огромного динамического диапазона S11(θ ) для малых показателей преломления (см. рис. 21). Известные из литературы данные для меньших размеров (таблица 1) показывают аналогичное увеличение ошибок с m, но при этом сами ошибки значительно меньше, например, максимальные относительные ошибки S11(θ ) для x < 10 и m вплоть до 2.5 + 1.4i меньше чем 0.4. Эти различия связаны с общими различиями между функциями S11(θ ) для частиц сравнимых и много больше длины волны – для последних эта функция имеет глубокие минимумы и больший динамический диапазон. Важно отметить, что малые показатели преломления

(m = 1.05) редко используются в МДД моделировании [88], поэтому тяжело делать общие выводы о поведении ошибок в этом случае.

В дальнейшем мы обсудим эмпирическое правило Дрейна (см. параграф 2.1.3.2),

которое утверждает что при λ/md = 10 погрешности интегральных сечений и параметра асимметрии должны быть несколько процентов, а максимальные ошибки в угловой зависимости S11 – порядка 20–30%. Наши результаты для Qext и <cosθ > действительно удовлетворяют этому правилу, однако оно не описывает уменьшение ошибок на два порядка при уменьшении m. Последнее, в частности, может быть использовано для сокращения количества диполей, а следовательно и времени вычислений, в тех случаях, когда требуется вычислить только интегральные характеристики рассеяния при малых m. Относительные ошибки S11(θ ) намного больше чем предсказывается эмпирическим правилом, что связано с тем, что последнее основано на тестовых задачах с x < 10. Однако эти выводы могут измениться для комплексных показателей преломления и сложных форм частиц (см. ниже). Можно заключить, что эмпирическое правило Дрейна имеет очень ограниченное применение в рассматриваемом нами диапазоне x и m. Для оценки необходимого количества диполей для достижения заданной точности требуются более аккуратные эмпирические функции, которые также позволили бы реалистично оценивать вычислительную сложность МДД, т.е. сколько времени требуется для достижения заданной точности определённых характеристик рассеяния для конкретных x и m. Эта задача остаётся для дальнейшего исследования.

110