Таблица 11. Сравнение быстродействия и точности МДД и КРВО для биологических клеток и двухслойного шара.a

	Эритроцит				BCP		Двухслойный шар
	МДД	КРВО		МДД	КРВО		МДД	КРВО
Время, с	10	808	105		5914	56		2507
Dpl	10	30	8.85		30	8.85		28
Память, ГБ	1.1	4.0	5.5		26	4.2		18
Итерацииb	18	808	52		5914	32		2507
ОО(Qext)	2.2×10−3	3.4×10−4		8.6×10−4	8.5×10−4		7.5×10−4	4.1×10−3
СКОО(S11)	0.31	0.21	0.48		0.29	0.20		0.24
СКО(P)	0.088	0.072	0.12		0.10	0.12		0.17

aТочность результатов для BCP приближённая, приведена только для исслюстрации.

bДля несимметричных форм это суммарное количество итераций (шагов по времени) для обеих поляризаций падающего света.

пример показывает, что ошибки формы резко выражены для частиц с малым показателем преломления, поэтому в МДД требуется большое dpl, чтобы их уменьшить. КРВО менее подвержен ошибкам формы, поскольку 1) он типично использует большее dpl чем МДД; 2) внутри алгоритма рассматриваются точки как в центрах ячеек, так и на их границах, тем самым dpl эффективно удваивается для описании формы частицы. Глубокие минимумы на рис. 31(а) связаны с симметричной формой, и поэтому они должны быть менее выражены для шероховатых или неоднородных частиц. Следовательно быстродействие, т.е. время требуемое для достижения заданной точности, обоих методов, и особенно МДД, должно быть лучше для несимметричных оптически мягких частиц.

2.6.4. Пример применения к биологическим клеткам

Для сложных биологических частиц не существует строгого точного метода для использования в качестве эталона. Поэтому в качестве такового мы используем результаты МДД для больших значений dpl. Для BCP эталонные результаты получены при dpl = 30 – максимально достижимое значение при данных вычислительных ресурсах. Так как эритроцит меньше чем BCP, для него мы смогли достигнуть dpl = 49, и далее улучшили этот результат путём экстраполяции (см. раздел 2.3), используя результаты для 9 значений dpl в диапазоне от 12 до 49. Оценки погрешностей экстраполяции составляют: ОО(Qext) = 2.6×10−4, СКОО(S11) = 0.12, СКО(P) = 0.052.

Быстродействие и точность МДД и КРВО для биологических клеток и двухслойного шара приведены в таблице 11. Показанные значения точности для эритроцита имеют неопределённость равную погрешности экстраполяции. Погрешности эталонных результатов для BCP не известны, но мы считаем, что они не намного меньше значений, указанных в таблице 11. Поэтому точности результатов обоих методов для BCP чётко не определены и приводятся только для иллюстрации.

136

	106
	105				Экстраполяция
					МДД
	104				КРВО
(θ )	103					(а)
	2
11
	10
S
	101
	100
	10-1
	10-2
	106				dpl = 30, МДД
	105				МДД
					КРВО
	104				двухслойный шар
(θ )	103					(б)
	2
11
	10
S
	101
	100
	10-1
	0	30	60	90	120	150	180
			Угол рассеяния θ, градусы

Рис. 33. Сравнение результатов МДД и КРВО с эталонами при вычислении S11(θ ) (в логарифмическом масштабе) для (а) эритроцита и (б) BCP. В части (б) также показано решение Ми для двухслойного шара, моделирующего BCP.

Результаты S11 для обоих методов вместе с эталонами для эритроцита и BCP приведены на рис. 33. На рис. 33(б) также приведено решение Ми для двухслойного шара – видно, что эта модель является плохим приближением реальной формы BCP.

Моделирование биологических клеток полностью подтверждает вывод подраздела 2.6.3: оба метода точны, но МДД явно превосходит КРВО в этом диапазоне x и m (быстрее примерно в 50 раз). При этом МДД приводит к точным результатам для реальных форм клеток при dpl ≈ 10, по крайней мере в этих двух конкретных случаях.

2.6.5. Выводы

Мы провели систематическое сравнение МДД и метода конечных разностей во временной области (КРВО) для шаров в диапазоне размерного параметра x вплоть до

80 и вещественной части показателя преломления m′ до 2, используя современные программные реализации обоих методов. МДД более чем на порядок быстрее при m′ ≤ 1.2 и x > 30, в то время как при m′ ≥ 1.7, наоборот, КРВО быстрее в той же степени,

а при m′ = 1.4 методы сравнимы. Ошибки МДД для S11(θ ) при m′ = 1.02 вызваны в

137

основном ошибками формы, которые должны быть меньше для шероховатых и/или неоднородных частиц. Рассмотренные примеры биологических клеток согласуются с выводами для шаров.

Хотя выводы данного сравнения немного зависят от конкретной характеристики рассеяния и от степени оптимизации программ, принципиально они не изменятся пока не произойдёт большое улучшение эффективности одного из методов. В частности, улучшение итерационного метода и/или предобусловливание может значительно улучшить эффективность МДД для больших m. Для КРВО использовался «надёжный» набор параметров идеально согласованного слоя, настройка этих параметров может привести к более тонкому слою, что улучшит эффективность, особенно для задач большого размера. Более того программа КРВО использует память консервативно, в то время как некоторое ускорение может быть достигнуто за счёт дополнительной памяти.

Данное сравнение нельзя считать завершённым, поскольку мы не варьировали мнимую часть показателя преломления, которая существенно влияет на эффективность обоих методов (см. параграф 2.1.3.2 и [31]). Это варьирование является темой дальнейшего исследования.

138