порядка. РДГ имеет и более выраженные недостатки, например, результат РДГ для Qext зависит только от f, но не от xg, что не соответствует результатам МДД [см. рис. 58(а)]. Более того, в РДГ изначально отсутствует поляризация (недиагональные элементы амплитудной матрицы рассеяния), поэтому вычисленный деполяризационный сигнал состоит только из апертурной части, которая очень мала.

A4. Расчёт деполяризованного бокового рассеяния зернистым шаром в рамках второго борновского приближения

Для того чтобы теоретически вычислить интенсивность деполяризованного бокового рассеяния, мы используем второй порядок РДГ или, строго говоря, второй порядок борновского приближения. Мы используем те же определения, что даны в приложении A3, и ту же философию, предпочитая простоту наилучшей возможной точности. Внутреннее поле внутри рассеивателя есть сумма двух порядков (см.

подразделы 2.1.2 и 2.1.4.2):

E(r) = E(1) (r) +E(2) (r) , E(1) (r) = Einc (r) ,

(A27)

(2)

3

′

′

′

(1)

′

4π

(1)

E

(r) = ∫d

r G(r,r )χ(r )E

(r ) −

χ(r)E

(r) .

(A28)

3

V \V0

Для упрощения выкладок мы ограничимся рассмотрением деполяризованной

интенсивности I (0)

для нулевой

апертуры

(

θ =

ϕ = 0°),

т.е. рассмотрим

только

неотъемлемую часть, не связанную с размером апертуры. В этом случае

I (0)

=

S3 (e y )

2 ,

(A29)

в то время как S3(ey) = Fz(ey) в случае падающего поля равного

Einc (r) = ex exp(ikrz ) .

(A30)

Легко показать, что E(1)(r) и последний член в формуле (A28) не дают вклада в S3(ey), следовательно

S3 (ey ) = −ik	3	3	′ 3	′	′	′	(A31)
		∫ ∫d	r d	r exp(ik(rz −ry ))χ(r )χ(r)Gzx (r,r ) .

V \V0 V

Аналогично рассмотрению в рамках РДГ (см. приложение A3), мы разделяем рассеиватель на весь объём Vc с восприимчивостью χc и наложенные гранулы с суммарным объёмом Vgrs и восприимчивостью χg − χc. Интеграл в формуле (A31) разделается на четыре части: двойной интеграл по Vc, двойной интеграл по Vgrs и два перекрёстных члена (по Vc и Vgrs). Первая часть соответствует второму борновскому приближению для однородного шара и тождественно равна нулю ввиду симметрии (S3 всегда равен нулю для шара). Перекрёстные члены похожи и их оба можно представить

225

как РДГ рассеяние объёмом Vgrs при падающем поле, равном результату РДГ для Vc. Легко показать, что при применении РДГ к однородному шару с показателем преломления близким к единице получается внутреннее поле параллельное падающему, за исключением граничного слоя шириной порядка длины волны около поверхности. x компонента внутреннего поля не даёт вклада в деполяризацию в направлении вбок, поэтому вклад перекрёстных членов в формуле (A31) по крайней мере на множитель порядка (mc − 1)/[ fxc(mg − mc)] меньше чем взаимодействие гранул друг с другом. Следовательно этими членами можно пренебречь. Более того взаимодействие гранулы с самой собой также даёт нулевую деполяризацию, в результате остаётся

		k3			2	N		3	′ 3	′	′
S3	(ey ) = −i		2 (mg − mc )			∑	∫∫d
		4π							r d	r exp(ik(rz −ry ))Gzx (r,r ) .
						i, j=1V V		j
						i≠ j	i

Усреднение формулы (A29) по всем возможным положениям гранул приводит к

(0)

=

k 6

4

N

N

3

′′′ 3

′′ 3

′

3

′′

′′′ ′

I

16π

4 mg −mc

∑ ∑

∫∫∫∫d

r d

r d

r d

r exp(ik(rz −rz

+ ry −ry ))×

i, j=1 i′, j′=1

V V V V

i≠ j

i′≠ j′

g g g g

× G

zx

(r, R

ij

+r′)G

(r′′, R ′ ′ +r′′′)exp(ik(R

− R ′

,z

+ R ′

,y

− R

j,y

)),

zx

i j

i,z

i

j

(A32)

(A33)

где обозначает комплексное сопряжение, Rij = rj − ri, а интегрирование проводится по грануле, помещённой в начало координат. Если все четыре индекса: i, j, i′ и j′ различны,

то Rij и Ri′j′ независимы. Более того мы предполагаем, что Rij и Rij′ ( j ≠ j′) также независимы, тем самым пренебрегая тройными корреляциями. Если аргументы двух тензоров Грина в формуле (A33) независимы, то их можно усреднять по отдельности, что приводит к нулевому результату, так как изменение знака x компоненты Rij изменяет знак Gzx(Rij), не влияя ни на какие экспоненты в формуле (A33).

Следовательно остаются только члены, в которых либо (1) i = i′ и j = j′, либо (2) i = j′ и j = i′. Все члены вида (1) эквиваленты между собой, то же верно и для случая (2). В итоге получаем:

I (0)

=

k6

m − m

4

N 2

H (R

ij

) 2

[1+ exp(ik(e

z

+ e

y

) R

ij

)]

,

(A34)

16π 4

g

c

i ≠ j

H (R) =

3

′ 3

′

′

∫∫

d

r d

r exp(ik(rz −ry ))Gzx (r, R +r ) ,

(A35)

Vg Vg

где мы предположили, что N >> 1.

Для проведения аналитического вычисления H(Rij) мы предполагаем, что Rij >>dg. Однако дальнейшие выкладки приближённо верны и при малых Rij – ожидается, что

226

они приведут к правильному общему виду выражений, но с неточными константами. Используя приближение удалённых гранул, получаем

H (R) = Gzx (R)∫∫d3r′d3r exp(ik[rz −ry′ +(r′−r) n])

		Vg Vg									(A36)
=V 2G	zx	(R)g	s	(x	|n −e	|)g	s	(x	|n −e	y	|),
g				g	z			g

где gs(u) определяется формулой (A9), а n = R/R – единичный вектор направления. Используя формулу (A36) и то, что

G

(R)

2 = n2n2h (R) , h

(R) = 9 +3(kR)2 +(kR)4 ,

(A37)

zx

z x G

G

R6

можно переписать формулу (A34) в виде

I (0)

=

k6 4 mg −mc

4 N 2Vg4 ∫dR P(R)hG (R)hΩ (xg , R) ,

(A38)

16π

где P(R) это радиальная функция распределения относительного положения гранул,

определённая так, чтобы ∫dR P(R) =1 ,

а hΩ – следующий результат усреднения по

всему телесному углу (поскольку все n равновероятны):

hΩ (x, R) =

1

∫d2n nz2nx2[1+ cos(kR(nz + ny ))]gs2 (x|n −ez |)gs2 (x|n −ey |)

.

(A39)

4π

Мы заменили экспоненту в формуле (A34) на соответствующий косинус, поскольку

мнимая часть hΩ равна нулю из-за симметрии подынтегрального выражения.
Легко показать, что P(R) для точечных гранул в шаре диаметра Dc равна
P(R) =	6	R2 (Dc − R)2 (2Dc + R) ,	(A40)
	5
	D
	c

независимо от f. Учёт конечного размера гранул, который тем не менее много меньше Dc, изменяет P(R) только для R близких к 0 и Dc. Граничными эффектами для больших R мы пренебрегаем, поскольку вклад малого интервала около Dc шириной порядка dg в интеграл в формуле (A38) относительно мал. Поправку для малых R можно получить в пределе бесконечно большого Dc, т.е. рассматривая зернистый шар как бесконечную жидкость из твёрдых шаров (xc >> 1 и xc >> xg). Структурный множитель, определяемый формулой (A18), является, по сути, преобразованием Фурье P(R) [280], следовательно можно получить P(R) обратным преобразование Фурье:

24R2				dg3	∞	2	sin(qR)
P(R) = D3		+			∫dq[S f (q) −1]q		qR		(A41)
	1		12π f					.
c					0

Вычислить этот интеграл аналитически не представляется возможным, поэтому мы раскладываем Sf (q) в ряд по f и оставляем члены вплоть до второго порядка, так как

227

члены более высокого порядка не добавят точности без учёта трёхкратного рассеяния. В итоге получаем окончательный результат для P(R):

24R

2

(2dg − R)

2

(4dg + R)

1

+ f

, d

≤ R ≤ 2d

;

g

g

D3

2d 3

(A42)

P(R) =

c

g

6

R2 (D

− R)2 (2D

+ R),

R

> 2d

.

D5

c

c

g

c

Используя формулы (A37), (A39) и (A42), можно вычислить интеграл в формуле (A38), но результат будет очень громоздким. Для дальнейшего упрощения заметим, что hΩ слабо зависит от R, а разные части hG(R) принципиально по-разному зависят от R [формула (A37)] – первые две части [после умножения на P(R)] увеличиваются при

R → 0, и их интеграл определяется узким интервалом R вплоть до нескольких dg. Третья часть hG(R), напротив, ведёт себя гладко, и её интеграл определяется всем диапазоном R. В частности, при вычислении интеграла от третьей части hG(R) можно

пренебречь косинусом в hΩ, поскольку

при kR >> 1, что

верно для

большей части

диапазона R, вклад этого члена пренебрежимо мал по сравнению с вкладом единицы.

Обозначим получившуюся hΩ как hΩ(x,∞), для неё можно показать, что

1

4

2

4

hΩ (x,∞) =

1−

x

+ O(x

) , x <1;

15

5

(A43)

−8

ln x),

x >1,

O(x

hΩ (x, R) ≤ 2hΩ (x,∞) .

(A44)

Вклад третьей части hG(R) в интеграл в формуле (A38) равен

∫dR P(R)

k 4

18k 3 xc hΩ (xg ,∞)

hΩ (xg , R) =

.

(A45)

R

2

3

Dc

Далее вычислим вклад первых двух частей hG(R). Как мы покажем ниже, этот вклад существенен только при малых xg, поэтому мы разлагаем hΩ(xg,R) в ряд по xg,

аналогично формуле (A43), предполагая kR = O(xg):

h	(x	, R) =	2			−	4	x	2	−	1	(kR)	2	+O(x	4
					1		5				7					) .
			15
Ω	g								g					g

Используя формулы (A42) и (A46), получаем

∫dR P(R)

9

+3(kR)2

R

6

hΩ (xg , R)

3

6k

f

2

=

1+

(1

+ 6 ln 2)+

xg

(52 + f (373 −522 ln 2))+ O(x4

, f 2 ) .

5D3 x3

4

35

g

c g

(A46)

(A47)

228

Важно отметить, что формула (A47) не совсем точна, так как она определяется R dg, для которых формула (A36) не точна. Сравнивая формулу (A47) с (A45) и (A43), видно, что вклад третьей части пренебрежимо мал при очень малых xg, но становится доминирующим относительно остальных частей, при xg больше нескольких xc−13 . Это утверждение можно вывести строго для всего диапазона xg, используя формулу (A44) вместо (A46) при вычислении интеграла в формуле (A47). С физической точки зрения для очень малых гранул деполяризация определяется близкодействием между гранулами, которые случайно оказались близко друг к другу, а начиная с xg ~ xc−13 ,

основным фактором является дальнодействие между всеми гранулами. Следовательно мы можем использовать формулу (A47) при xg вплоть до постоянной порядка единицы (мы выбрали её равной единице), и пренебрегать этим вкладом при бóльших xg. К счастью, это как раз совпадает с предположением, использованным при выводе формулы (A47). Итоговый результат для деполяризованной интенсивности следующий

I (0) =	4	mg		− mc	4 f 2 xc3 xg3 [C (xg , f ) + xg3 xchΩ (x,∞)],					(A48)
135
	+	f	(1	+ 6ln 2)+		x	2	(52 + f (373 −522ln 2)), x	<1;
1
		4								(A49)
C (x, f ) =					35
								x	≥1.
0,

Мы сравниваем формулу (A48) с результатами МДД для типичных параметров (те же,

что использованы для рис. A1, и f = 0.1) на рис. A2. Важно отметить, что формула (A48) выведена для нулевой апертуры, в то время как результаты МДД получены при

θ = ϕ = 25°. Мы не приводим результаты МДД для нулевой апертуры, поскольку их СО больше чем сами значения, и, поскольку мы моделировали только 10 положений гранул для каждого xg, ошибка среднего значения тоже велика. Согласие между вторым борновским приближением и МДД в целом хорошее, особенно до первого максимума. При бóльших xg это приближение систематически недооценивает деполяризованную интенсивность, что происходит из-за пренебрежения трёхкратным рассеянием, в частности, даже деполяризация одной большой гранулой вычисляется неточно.

Формула (A48) хорошо описывает качественную зависимость I от xg: она пропорциональна xg3 при очень малых xg, растёт со скоростью xg6 при xg порядка единицы и спадает как xg−2 ln xg при бóльших xg. I пропорциональна f 2|mg − mc|4, хотя имеются поправки более высокого порядка по f при малых xg, и ведёт себя как xc3 и xc4

при xg много меньше и порядка единицы соответственно. Используя формулы (A23) и (A48), получаем выражение для степени поляризации:

229

	0	Размерный параметр гранул xg					12
		2	4	6	8	10
	12
I						МДД
рассеяиние
	10					2-ое борновское
						приближение
	8
боковое
	6
Деполяризованное	4
	2
	0	0.5		1.0		1.5	2.0
	0.0
			Диаметр гранул dg, мкм

Рис. A2. Сравнение результатов МДД (среднее ± 2×СО) и средних значений, вычисленных в рамках второго борновского приближения, для интенсивности деполяризованного бокового рассеяния. Использовались типичные параметры (описаны в тексте). Для удобства показаны две горизонтальные оси, соответствующие xg и dg.

			2				3	<<1;
DSS (xg ) =	f	mg − mc		CD + O( f ) + O(xc xg ), xg
				×				(A50)
				x O(x−1 ln x ),			x	>>1,
					c g	g	g

что согласуется с результатами МДД. Хотя наши выкладки приводят к определённым поправкам O( f 2) для DSS при малых xg, эти поправки не точны, так как мы не учитываем эффекты трёхкратного рассеяния, которые того же порядка. Множитель

O(xg−1 ln xg ) практически постоянен в рассматриваемом диапазоне больших xg, поэтому можно считать, что оба предельных значения DSS не зависят от xg. Следовательно наше приближённое рассмотрение описывает ступенчатое поведение DSS(xg), наблюдаемое при точном МДД моделировании (см. подраздел 4.2.4).

Можно использовать второе борновское приближение для уточнения результата РДГ для ISS – это определённо улучшит точность, но также значительно усложнит итоговое выражение. В частности, при таком уточнении большинство промежуточных членов не исчезает (как для I ), и также не представляется возможным простое усреднение по апертуре. Поэтому такой подход противоречит нашей философии для приближённых теорий, и мы его далее не преследуем.

230