9) Полное ускорение a:

.

10) Среднее ускорение при неравномерном движении:

.

Принцип относительности Галилея (в классической механике) – никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами, не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета. Предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета.

Преобразования Галилея определяют положение произвольной материальной точки в двух инерциальных системах отсчета, одна из которых движется со скоростью v_o относительно другой (при условии, если направление скорости v₀ совпадает с направлением r_o):

r=r^'+r₀=r'+v_ot; t=t^'.

где r и r^' – радиус – векторы, определяющие положение материальной точки в неподвижной и подвижной системе отсчета в данный момент времени;

r_o – радиус вектор, определяющий положение начала координат системы К^' (подвижной) в системе К (неподвижной).

В проекциях на оси координат в произвольный момент времени t положение выбранной точки в системе К можно определить так:

x=x^'+v_0xt, x^'=x – v_0xt,

у=у^'+v_0уt, у^'=у – v_0уt,

z=z^'+v_0zt, z^'=z – v_0zt,

t=t^'. t=t^'.

Ковариантные или инвариантные уравнения – уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и сохраняют свой вид во всех инерциальных системах отсчета.

Закон сложения скоростей в классической механике:

v=v^'+v₀.

Относительное расстояние между выбранными точками пространства в системах отсчета определяется соотношением – они абсолютны, т.е. инвариантны:

1) В подвижной

,

2) В неподвижной

.

Инварианты преобразований – инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения).

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором какие – либо две его точки остаются неподвижными в процессе движения. Прямая, проходящая через эти точки, – ось вращения; все остальные точки твердого тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, центры которых лежат на этой оси (рис. П 1. 3).

Основные кинематические характеристики вращательного движения (рис. П 1. 4):

1) угол поворота  – угол, отсчитанный между двумя последовательными положениями радиуса R.

2) угловая скорость  – векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота  в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта:

3) угловое ускорение  – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно – в случае замедленного:

Период вращения (T) – время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Частота вращения (n) – число оборотов, совершаемых в единицу времени.

Круговая (циклическая) частота ω – число оборотов, совершаемых за время, равное 2π.

Связь между периодом, частотой и круговой частотой:

ω=2πn=2π/T; n=1/T.

Связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями:

Колебательные движения (колебания) – движения или процессы, обладающие повторяемостью во времени.

Гармонические колебания (простейший вид колебаний) – движения, при которых смещение материальной точки (тела) от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса (рис. П 1. 5):

x=x₀sin(₀t+₀),

где x – смещение это удаление материальной точки от положения равновесия в данный момент времени t;

x₀ – амплитуда колебаний это максимальное удаление материальной точки от положения равновесия;

(t+₀) – фаза колебаний. Периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t;

₀ – начальная фаза колебаний. Определяет положение материальной точки в начальный момент времени t=0;

=2/T=2n – круговая (циклическая) частота колебаний;

T – период колебаний;

n – частота колебаний.

Скорость при гармоническом колебательном движении (колебательная скорость) – физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная первой производной от смещения по времени:

.

Ускорение при гармоническом колебании – физическая величина, которая показывает, как изменяется скорость в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:

.

Знак "минус" означает – ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Сложение гармонических колебаний одного направления (рис. П 1. 6) с одинаковыми амплитудами и частотами (x₀₁=x₀₂; ₁=₂=), но разными начальными фазами (₀₂  ₀₁), проводят аналитически. Уравнение результирующего колебания имеет вид

где – амплитуда результирующего колебания;

– фаза результирующего колебания.

Биения – возникают при сложение колебаний одного направления (рис. П 1. 7), с одинаковыми амплитудами (x₀₂=x₀₁), начальными фазами ₀₁=₀₂=0 и круговыми частотами, мало отличающимися друг от друга (₁  ₂). Уравнения таких колебаний имеют вид

x₁=x₀₁sin₁t; x₂=x₀₁sin₂t.

Уравнение результирующего колебания:

x=x₁+x₂=2x₀₁,

где – амплитуда результирующего колебания, которая зависит от =₁ – ₂ – разности частот складываемых колебаний;

– смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону;

Частота и период результирующего колебания:

Частота и период изменения амплитуды в этом случае:

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к тому, что траектория движения представляет собой замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу (рис. П 1. 8):

1) сложение колебаний с одинаковыми частотами (₁=₂=), различными амплитудами (x₀ y₀) с начальными фазами ₁=₂=0 – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – прямая линия, уравнение которой имеет вид

y=(y₀/x₀)x;

2) сложение колебаний, начальные фазы ₁ и ₂ которых отличаются на /2 (₁ – ₂=/2) – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – эллипс (при равных амплитудах x₀=y₀ – траектория результирующего движения – окружность) с полуосями, равными, x₀ и y₀, уравнение которого:

(y/y₀)²+(x/x₀)²=1;

3) сложение колебаний, периоды которых относятся как целые числа – через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в начальное положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия.

Основная задача динамики – для данного тела по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на тело.

Масса m – физическая величина, характеризующая количество вещества, инертность, гравитационные свойства и энергию материального тела. Массу тела, определяющую его инертные свойства, называют инертной массой.

Центр масс (или центр инерции) системы – воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы и определяется радиус – вектором:

,

где m_i и r_i – соответственно масса и радиус – вектор i – й материальной точки;

n – число материальных точек в системе.

Скорость центра масс

,

где – полный импульс системы.

Импульс p (количество движения) – физическая величина, описывающая свойства движущихся тел, равная произведению массы на скорость:

p=mv.

Полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:

p=mv_c.

Покой – частный случай равномерного прямолинейного движения со скоростью v=0.

Инерция – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инерциальные системы отсчета – системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы Ньютона (их уравнения и все следствия).

Неинерциальная система отсчета – система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением.

Первый закон Ньютона: «Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока равнодействующая всех приложенных сил равна нулю».

Сила F – векторная физическая величина, характеризующая воздействие одних тел на другие. В результате действия силы изменяется состояние движения тела (тело приобретает ускорение) или тело деформируется.

Сила F в механике – мера механического действия на данное материальное тело (данную материальную точку) других тел (других материальных точек) или полей.

Закон независимости действия сил: – при действии на тело нескольких сил, каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила, если бы действовала одна.

Принцип суперпозиции сил – допущение, согласно которому результирующий эффект сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что воздействия взаимно не влияют друг на друга. Он применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями.

Сложение нескольких сил, действующих одновременно на материальную точку (тело, систему) – производится геометрически. Действие нескольких сил можно заменить действием одной силы, которая называется равнодействующей (рис. П 1. 9):

;

.

Условие равновесия сил:

.

На рисунке П 1. 10 показано равновесие сил, лежащих в одной плоскости, действующих на материальную точку. Рисунок П 1. 11 соответствует равновесию сил, не лежащих в одной плоскости, действующих на материальную точку. Две силы, действующие под углом на одну материальную точку, не могут уравновесить друг друга ни при каких условиях.

Так же и три силы, не лежащие в одной плоскости, не могут уравновесить друг друга ни при каких условиях (рис. П 1. 12).

Ускорение в динамике a – результат действия силы.

Ускорение материальной точки в инерциальных системах отсчета К и К^' одинаково:

; a=a^'.

Второй закон Ньютона – изменение импульса пропорционально приложенной силе и направлено вдоль прямой, по которой действует данная сила (основное уравнение движения в классической динамике):

,

При t0

.

При v<<c – ускорение, с которым движется тело прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела:

.