П 1.3. Энергия, работа, мощность. Законы сохранения в механике

Энергия – количественная мера и качественная характеристика движения и взаимодействия материи во всех ее превращениях. Она является функцией состояния системы и характеризует способности системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Изменение энергии при переходе системы из одного состояния в другое равно работе, совершаемой системой в процессе перехода:

W=W₁–W₂=A.

Диссипация (рассеяние) энергии механических систем - процесс перехода части их механической энергии в другие формы под влиянием внешних факторов (например, за счет наличия сил сопротивления).

Диссипативные системы – системы, в которых полная механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы, например в теплоту.

Механическая энергия  физическая величина, равная работе, которая может быть произведена при полном превращении движения данной формы в механическую форму движения материи.

Кинетическая энергия  физическая величина, характеризующая способность движущегося тела или системы совершать работу при торможении до полной остановки – одна из функций состояния ее движения:

.

Кинетическая энергия системы  сумма кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) этой системы:

,

где  масса тела (системы);

 кинетическая энергия i-го тела системы.

Связь между кинетической энергией тела (системы) и его импульсом:

.

Кинетическая энергия при вращательном движении:

1) элементарной массы m_i:

,

где I_i=m_i∙r_i²  момент инерции материальной точки, относительно выбранной оси вращения;

2) тела (системы):

,

где  момент инерции тела относительно той же оси вращения.

Потенциальная энергия  физическая величина, характеризующая способность системы совершать работу, связанную с изменением конфигурации и взаимного расположения тел или частей в системе.

Изменение потенциальной энергии системы зависит только от начального и конечного ее состояний и равно работе внутренних (консервативных) сил системы, взятой с обратным знаком:

dW_p=-dA.

Характеристики поля тяготения: напряженность и потенциал поля тяготения.

Напряженностью поля тяготения в данной точке называется векторная физическая величина, равная по величине и направлению силе, действующей на единичную массу, помещенную в данную точку поля:

.

Потенциалом поля тяготения называют скалярную физическую величину, равную потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля

,

т.е. потенциал поля тяготения тоже с увеличением расстояния увеличивается и при r равен нулю.

Связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения

.

В общем случае связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения выражается соотношением

.

Потенциальная энергия тяготеющих масс:

.

Потенциальная энергия системы «тело-Земля», если тело находится на некоторой высоте h над поверхностью Земли:

,

где  потенциальная энергия системы «тело–Земля», если тело находится на поверхности Земли.

Изменение потенциальной энергии в том случае, когда тело поднимается на некоторую высоту h над поверхностью Земли:

.

Потенциальная энергия упругой деформации:

.

Связь потенциальной энергии материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле с силой, действующей на материальную точку (тело, систему):

dWp= - F_rdr, .

В векторной форме

,

где W_p=f(x,y,z)  потенциальная энергия системы.

Признак устойчивого равновесия (положения) системы - минимум потенциальной энергии:

; 0.

Внутренняя энергия - энергия физической системы, зависящая от ее внутреннего состояния. Сумма кинетической энергии хаотического (теплового) движения всех микрочастиц системы, энергии взаимодействия этих частиц и внутримолекулярной энергии.

Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из состояния в состояние:

U=U₂–U₁,

где U₁ – внутренняя энергия системы в начальном состоянии;

U₂ – внутренняя энергия системы в конечном состоянии.

Изменение внутренней энергии системы, выполняющей замкнутый процесс:

U=0.

Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебательное движение – это сумма потенциальной и кинетической энергий.

Потенциальная энергия системы, совершающей гармоническое колебание:

.

Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание:

.

Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание:

.

Работа  это процесс превращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.

Механическая работа  процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.

Элементарная работа некоторой силы F, действующей на материальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное перемещение dr (рис. П 1. 29):

dA=Fdr=Fdrcos=F_rdr.

Работа нескольких сил, действующих на тело (материальную точку, систему),  алгебраическая сумма работ, совершаемых отдельно взятой силой на данном перемещении:

.

Работа по перемещению массы в поле сил тяготения:

.

Работа консервативных (потенциальных) сил по замкнутой траектории равна нулю:

.

Работа, совершаемая при движении материальной точки (тела, системы) по криволинейной траектории:

.

Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси за время dt:

,

где M – результирующий момент всех внешних сил; ω – угловая скорость.

Работа постоянной проекции результирующего момента M на выбранное направление:

,

где M=I=I(d/dt); =dt.

Работа возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на dx:

dA=Fdx=-kxdx.

Работа возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на x:

,

где x=x₀ sin(ω₀t+φ₀)-смещение системы от положения равновесия.

Мощность  физическая величина, численно равная работе, совершаемой в единицу времени. Мощность характеризует работоспособность машин и механизмов.

Средняя мощность  физическая величина, численно равная отношению работы, совершенной за некоторый промежуток времени t, к величине этого промежутка времени:

.

Мгновенная мощность определяется как первая производная от работы по времени:

N=dA/dt=d(F_sdS)/dt=Fv,

где F  мгновенная сила;

v  мгновенная скорость.

Максимальная мощность при равноускоренном движении (F=const):

N_max=Fv_max; <N>=F<v>.

Мгновенная мощность при вращательном движении:

,

где M  мгновенный момент силы; ω-мгновенная угловая скорость.

Закон сохранения энергии в его общефизическом смысле - энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, в количественном отношении оставаясь неизменной.

Закон сохранения и превращения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы (в отсутствие внешних воздействий), в которой действуют только консервативные силы, остается величиной постоянной:

W_k+W_p=const.

Рис. П 1. 30

Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы в отсутствии внешних воздействий остается величиной постоянной (рис. П 1. 30):

p=const.

Закон движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует равнодействующая всех внешних сил:

.

Импульс незамкнутой системы сохраняется, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Удар - совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом.

Ударный импульс - мера механического взаимодействия тел при ударе ударной силы F за время удара τ:

.

Коэффициент восстановления k – величина, характеризующая потери энергии при ударе, численно равная отношению скорости взаимодействующих масс после взаимодействия к их скорости до взаимодействия:

.

Центральный удар – такой удар, при котором центры масс тел лежат на линии удара.

Прямой центральный удар – такой, при котором скорости v₁ и v₂ центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара.

Центральный абсолютно неупругий удар шаров характеризуется тем, что выполняется только закон сохранения импульса. Скорость шаров после центрального абсолютно неупругого удара:

.

Центральный абсолютно упругий удар шаров характеризуется тем, что выполняются законы сохранения полной механической энергии и импульса. Скорости шаров после взаимодействия:

;.

Закон сохранения момента импульса - момент импульса замкнутой системы в отсутствие внешних воздействий остается величиной постоянной:

, а L₀=const.

Скорость изменения момента импульса (уравнение моментов):

,

где L₀  момент импульса тела (системы) относительно начала координат;

M_вн  суммарный вращающий момент внешних сил, действующих на тело (систему).