П 2.3. Статистический метод исследования

Статистические закономерности – количественные закономерности, устанавливаемые статистическим методом, в котором рассматриваются лишь средние значения величин, характеризующих данную совокупность молекул (рассматривается конкретная молекулярная модель, и к ней применяются математические методы статистики, основанные на теории вероятностей).

Вероятность термодинамическая – число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической физической системы (предел, к которому стремится относительная частота появления некоторого события при достаточно большом, стремящемся к бесконечности числе повторений опыта при неизменных внешних условиях):

w=n/N,

где N – число опытов;

n – число раз получено определенное событие.

Флуктуации – случайные отклонения физических величин от их среднего значения.

Средняя квадратичная скорость молекул (для газа массой "m" находящегося в состоянии равновесия, при T = const) остаётся постоянной:

или ,

где N_i – число молекул, обладающих скоростью v_i;

N – число всех молекул.

Наиболее вероятная скорость – скорость движения молекул, которая характеризует положение максимума функции распределения Максвелла:

Средняя арифметическая скорость:

Относительная скорость применяется для расчета числа молекул, движущихся со скоростями в интервале от v до v + dv:

u=v/v_в.

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям в стационарном состоянии (распределение Максвелла):

где dn_v – среднее число молекул в единице объема со скоростями в интервале от v до v+dv;

n – число молекул в единице объема.

Функция распределения (доля молекул от их общего числа отнесена к некоторому интервалу скоростей):

или

где dn_v/ndv – функция распределения.

Свободные пробеги молекул – прямолинейные участки траектории, проходимые молекулой между двумя последовательными соударениями.

Средняя длина свободного пробега молекулы – среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя соударениями:

где Z – число соударений;

v – средняя скорость молекулы;

k – постоянная Больцмана;

d – диаметр молекулы;

p – давление;

T – абсолютная температура.

Среднее число соударений <z> – число соударений молекул, численно равное отношению средней скорости движения молекул <v> к средней длине свободного пробега:

, или

Эффективный диаметр молекулы d – минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры 2–х молекул.

Эффективное сечение – величина равная

=d².

Барометрическая формула показывает, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже его температура:

Закон распределения молекул газа по высоте в поле сил тяготения (распределение Больцмана):

, ,

где n_o – число молекул в единице объема в том месте, где потенциальная энергия молекул равна нулю;

n – число молекул в единице объема в тех точках пространства, где потенциальная энергия молекул равна W_p.

Распределение Максвелла–Больцмана – благодаря этому распределению можно определить долю молекул идеального газа, имеющих скорости в интервале от v до v+dv и обладающих потенциалом =gh во внешнем силовом поле:

,

где v_в – наиболее вероятная скорость, значению которой соответствует максимум кривой Максвелла.

Зависимость плотности газа от высоты:

; ,

где m_o – масса одной молекулы.