П 1.4. Поле тяготения. Движение в поле центральных сил

Поле тяготения создается взаимодействующими массами покоя тел и поэтому является характерным для тел с большими массами и со значениями скорости движения гораздо меньшими, чем скорость распространения света в вакууме.

Напряженность поля тяготения - векторная физическая величина, равная по величине и направлению силе, действующей на единичную массу, помещенную в данную точку поля:

.

Ускорение, приобретаемое в поле тяготения массой m, направлено к центру большей массы:

.

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли:

.

Ускорение силы тяжести при круговой траектории движения является центростремительным:

.

Потенциал поля тяготения. Это скалярная физическая величина, равная потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля:

.

Связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения:

.

В векторной форме:

.

Знак "минус" означает, что напряженность поля тяготения направлена в сторону уменьшения потенциала поля тяготения.

Уравнение движения массы m в поле тяготения при скорости движения тела v₀<<с:

.

Первая космическая скорость:

.

Вторая космическая скорость:

.

Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите:

.

«Потенциальная яма»  ограниченная область пространства, определяемая физической природой взаимодействия частиц. В этой области пространства потенциальная энергия частицы меньше, чем вне ее.

Характеристики «потенциальной ямы»:

а) ширина – расстояние, на котором проявляется действие сил притяжения;

б) глубина – разность потенциальных энергий частицы на «краю» ямы и на ее «дне», соответствующем минимуму потенциальной энергии, которую удобнее принять равной нулю.

Основное свойство «потенциальной ямы» – способность удерживать частицу, полная энергия W которой меньше .

Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область, по обе стороны которой потенциальная энергия резко спадает. Прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если ее полная энергия не меньше высоты потенциального барьера W.

П 1.5. Основы специальной теории относительности

Теория относительности. Это физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов (свойства пространства-времени).

Специальная (частная) теория относительности (СТО) изучает свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.

Общая теория относительности (ОТО)  теория тяготения, изучающая свойства пространства-времени, которые определяются действующими полями тяготения.

Симметрия (инвариантность) законов физики  неизменность законов физики, устанавливающих соотношение между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем при определенных операциях-преобразованиях.

Преобразования пространства-времени:

а) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве  эквивалентность всех точек пространства, т.е. отсутствие в нем выделенных точек (однородность пространства). Любой физический закон (процесс) происходит одинаково в любой точке пространства.

б) Поворот системы как целого в пространстве  симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

в) Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени) означает, что физические законы не меняются со временем.

г) Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью означает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.

Точечное событие  нечто, происходящее в данной точке пространства в данный момент времени (например, выстрел, распад элементарной частицы).

Первый постулат специальной теории относительности (принцип относительности): никакие физические опыты (механические, оптические, тепловые, электромагнитные и т.д.), производимые внутри инерциальной системы отсчета, не позволяют установить, находится ли она в равномерном абсолютном и прямолинейном движении или нет.

Второй постулат специальной теории относительности (принцип независимости и постоянства скорости света): скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света.

Третий постулат специальной теории относительности (принцип одновременности событий): события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, то есть одновременность является понятием относительным.

"Мир"  четырехмерное пространство, в котором каждое мгновенное событие характеризуется точкой (мировой точкой) с указанием координат.

Мировая линия данной материальной точки  некоторая линия в четырехмерном пространстве, отображающая события, происходящие с материальной точкой.

Положение материальной точки, тела в четырехмерной системе отсчета задается с помощью координат: x, у, z, и  (x, у, z),  пространственные координаты;   координата времени, равная: =ict, где , c  скорость распространения света в вакууме, t-время. При этом x=x₁, у=x₂, z=x₃, и =ict=x₄.

Четырехмерный радиус-вектор S=S(x₁, x₂, x₃, x₄)  вектор, проведенный из начала координат в мировую точку. Его три проекции на оси x₁, x₂ и x₃ представляют собой обычные координаты материальной точки x, у и z в момент времени , т.е. в момент времени, которым является четвертая проекция вектора S, деленная на ic.

Четырехмерное перемещение S  вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное. Первые три проекции этого вектора x, у, z отображают перемещение материальной точки в обычном пространстве, а четвертая проекция, деленная на ic, равна t.

Пространственно-временной интервал между двумя событиями  расстояние между двумя точками (событиями) в четырехмерном пространстве:

.

Бесконечно-малый промежуток времени между двумя событиями d  время, которое отметят часы, находящиеся на теле, в то время как часы системы, по отношению к которой тело движется со скоростью v, отметят время dt:

,

где =v²/c².

Скорость в четырехмерной системе отсчета  четырехмерный вектор, первые три проекции которого в отличаются от обычных проекций скорости v_x, v_у и v_z. Четвертая проекция-мнимая величина, не имеющая физического смысла:

.

Ускорение в четырехмерной системе отсчета:

.

Кинематические уравнения движения в четырехмерной системе отсчета (по известному а() можно найти v() и S()):

, .

Формулы преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую (преобразования Г.А. Лоренца):

а) обратные

; у=у^'; z=z^'; ;

б) прямые

; у=у^'; z=z^'; .

Следствия из преобразований Лоренца:

а) Закон сложения скоростей (в частном случае, когда скорость "u" направлена вдоль оси OX):

.

б) Сокращение продольных движущихся масштабов длин (лоренцево сокращение):

; ,

где ℓ₀  длина стержня в той системе отсчета, в которой он покоится;

ℓ  длина стержня в системе отсчета, движущейся относительно стержня.

в) Замедление хода движущихся часов:

; ,

где τ₀=t₂^'-t₁^'  промежуток времени, прошедший между этими событиями, в подвижной системе К^';

τ=t₂-t₁  промежуток времени, прошедший между этими событиями, в неподвижной системе К.

Первый закон Ньютона в специальной теории относительности устанавливает существование в природе систем отсчета, сколь угодно близких к инерциальным системам отсчета. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.

Зависимость массы от скорости:

,

где m  масса движущегося тела;

m₀  масса покоя.

Кинетическая масса:

,

где m  релятивистская (полная) масса;

m₀  масса покоя;

m_к  кинетическая масса.

Масса системы не равна сумме масс, составляющих ее тел:

,

где m  масса системы;

m_i  масса изолированных тел , составляющих систему;

W  энергия взаимодействия изолированных тел.

Импульс (вектор энергии-импульса) материальной точки:

,

где m₀  масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);

v  скорость тела.

Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки) в специальной теории относительности:

.

Третий закон Ньютона в специальной теории относительности:

F_μ,n=- F_n,μ,

где F_μ,n и F_n,μ  силы взаимодействия материальных точек в четырехмерной системе пространство-время.

Внутренняя энергия тела пропорциональна массе покоя этого тела:

Е_вн=m₀c².

Кинетическая энергия тела:

.

Полная энергия тела складывается из внутренней энергии и кинетической энергии тела как целого:

,

где  релятивистская масса.

Энергия связи системы каких-либо частиц - работа, затраченная на разделение системы на составляющие ее частицы и удаление их друг от друга на такое расстояние, на котором их взаимодействием можно пренебречь:

,

где E_св  энергия связи;

 E_i  сумма энергий разделенных частиц системы;

E  энергия системы.

Сумма масс разделенных частиц больше массы системы на величину энергии связи, деленную на c²:

.

Дефект массы m  разность между суммой масс частиц и массой системы:

.

Закон взаимосвязи массы и энергии:

, E=mc².

Закон изменения импульса-энергии материальной точки:

.

Закон изменения энергии материальной точки:

=.

Закон изменения кинетической энергии тела:

.

Соотношение, связывающее полную энергию и импульс релятивистской частицы (в векторной форме):

.

Связь между импульсом и полной энергией в скалярной форме:

.

Связь между импульсом и кинетической энергией:

.

Для частиц с нулевой массой покоя энергия пропорциональна импульсу:

E=cp; p=E/c.

Кинетическая масса частиц, которые не обладают массой покоя, равна полной массе: