- •Теория функций комплексного переменного
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовой расчет Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
- •Задача 11
- •Задача 12
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Для заметок
Задачи для самостоятельного решения
1.11. Вычислить значения функций:
а) в точках
б) в точках
в) в точках
г) в точках
д) в точках
е) в точках
1.12. Вычислить
1.13. Вычислить , подсчитав действительную и мнимую части с точностью до .
1.14. Вычислить действительные и мнимые части функций: а)
б) в)
1.15. Доказать тождества:
а)
б)
1.16. При отображении найти образ линии
1.17. При отображении найти образ линии
1.18. При отображении найти прообраз прямоугольной сетки плоскости с разрезом вдоль положительного направления действительной оси.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Комплексное число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого существует такое , что как только .
Отсюда следует, что если и , то
Верно и обратное утверждение.
Функция называется непрерывной в точке , если
.
Производной функции комплексного переменного называется
Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.
Для дифференцируемости функции комплексного переменного в данной точке необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в данной точке и удовлетворяли в этой точке условиям Коши-Римана:
При этом
Так как основные свойства предельного перехода сохраняются, сохраняются основные правила дифференцирования.
Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке области . Функция называется аналитической в точке , , если она аналитична в некоторой ее окрестности.
Элементарные функции в области определения аналитичны и для них справедливы основные формулы дифференцирования; для многозначных функций производные определяются для каждой ветви в отдельности.
Пример 5
Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции .
Решение
Условия Коши-Римана выполняются на всей плоскости, значит, функция дифференцируема на всей плоскости, и ее производная
Пример 6
Показать, что при функция не имеет производных.
Решение
равны только при ;
равны только при .
Условия Коши-Римана не выполняются ни в одной точке, кроме .
Замечание. в точке дифференцируема, но не аналитична в ней, т. к. она не аналитична в окрестности этой точки.
Функция двух действительных переменных , имеющая в области непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической в области .
Действительная и мнимая части аналитической в односвязной области функции являются гармоническими функциями в области . Для всякой гармонической в односвязной области функции существует функция , аналитичная в области . Ее мнимая часть называется функцией, гармонически сопряженной с функцией . Аналогично для всякой гармонической в односвязной области функции существует функция , аналитическая в области .
Пример 7
Найти аналитическую функцию , если
Решение. Функция является гармонической. Действительно,
Из условий Коши-Римана следует, что
Тогда
Так как
Если аналитическая в области функция отображает эту область на область плоскости , причем всюду в области : , то равен коэффициенту растяжения, происходящему при этом отображении в точке , а равен углу поворота каждой из гладких линий, проходящих через точку , при том же отображении.
Пример 8. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .
Решение. Коэффициент растяжения
угол поворота
Задачи
2.1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для следующих функций:
а) |
б) |
в) |
2.2. Показать, что при функция не имеет производных.
2.3. Будет ли дифференцируемой функция
2.4. Найти область, в которой функция будет аналитической.
2.5. Определить вещественные функции и так, чтобы функция была дифференцируемой.
2.6. Найти аналитическую функцию , если
а)
б)
в)
2.7. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении
в точке : а) б)
2.8. Найти линии равного растяжения и линии равного угла поворота для отображений: а) б) .
2.9. Выяснить геометрический смысл производной линейной функции . При отображениях и найти образ квадрата: