Задачи для самостоятельного решения

5.4. Вычислить вычеты следующих функций относительно их конечных особых точек:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

5.5. Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) , где – целое число.

5.6. Вычислить с помощью вычетов следующие несобственные интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

Ответы

1.1. а) б)

в) г)

д)

е)

1.2.

1.3.

1.4. а)

б)

в)

1.5.

1.8.

1.9. Образом являются два семейства парабол с общим фокусом в начале координат и с осями, совпадающими с действительной осью.

1.10.

1.11. а) б)

в)

г)

д) е)

1.12.

1.13.

1.14. а)

б)

в)

1.16.

1.17.

1.18. Прообразом являются два семейства равнобочных гипербол. У одного семейства асимптоты есть биссектрисы координатных углов, а у другого асимптотами служат оси и .

2.3. Нет.

2.4. Функция аналитическая при и при

2.5.

2.6. а)

б)

в)

2.7. а)

б)

2.8. а)

б)

2.9.

2.10. Нет.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14. а)

б)

в)

2.15. а)

б)

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7. а) б)

3.8.

3.9.

3.10. а) б)

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17. а) б)

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25. а) б) в)

4.1.

4.2. а)

б)

в)

4.3. а)

б)

в) где

4.4.

4.5. при при

4.6. а) – нули 1-го порядка;

б) – нуль 2-го порядка; – нули 1-го порядка;

в) – нули 3-го порядка; – нули 1-го порядка;

г) – нули 3-го порядка.

4.7. а) – полюс 1-го порядка; – полюсы 2-го порядка; – нуль 5-го порядка;

б) – полюс 2-го порядка; – полюсы 1-го порядка;

в) – устранимая особая точка; – полюсы 1-го порядка; г) – полюсы 2-го порядка; – полюс 2-го порядка;

д) – существенно особая точка;

е) – полюс 5-го порядка; – полюсы 3-го порядка.

4.8. а) – существенно особая точка; – существенно особая точка;

б) – полюс 2-го порядка; – полюс 3-го порядка.

4.9. .

4.10.

4.11. где

4.12. а)

б)

4.13. а) – нули 2-го порядка;

б) – нули 2-го порядка;

в) – нуль 6-го порядка; г) – нуль 1-го порядка.

4.14. а) – существенно особая точка;

б) – полюс 2-го порядка, – простые полюсы;

в) – полюсы 1-го порядка;

г) – существенно особая точка;

д) –полюс 3-го порядка; – полюсы 1-го порядка.

4.15. а) – полюс 2-го порядка, – существенно особая точка; б) – существенно особая точка, – полюс 1-го порядка.

5.1. а)

б)

в)

г)

д)

5.2. а)

б)

в)

г)

5.3. а)

б)

в)

5.4. а)

б)

в)

г)

5.5. а)

б)

в)

г) , если и , если .

5.6. а)

б)

в)