- •Теория функций комплексного переменного
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовой расчет Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
- •Задача 11
- •Задача 12
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Для заметок
Задачи для самостоятельного решения
2.10. Будет ли дифференцируемой функция
2.11. Показать, что функция дифференцируема и найти ее производную.
2.12. При каком значении функция дифференцируема?
2.13. При каком значении функция дифференцируема?
2.14. Найти аналитическую функцию , если
а) б) в) .
2.15. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении :
а) в точках
б) в точках .
ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги АВ вычисляется по формуле
.
Или, если т. е. – параметрические уравнения дуги АВ, ~ , ~ , то
Пример 9. Вычислить , если – окружность .
Решение.
y
0 1 x
Рисунок 11 |
Для вычисления полученных криволинейных интегралов используем параметрические уравнения окружности (рис. 11).
|
Тогда
Иначе, уравнением окружности будет .
Тогда .
Если – аналитическая функция в односвязной области , то значение интеграла , взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой дуги , принадлежащей области , не зависит от дуги , а определяется лишь положениями начальной и конечной точек этой дуги, и вычисление интеграла производится по формуле Ньютона-Лейбница:
,
где – какая-нибудь первообразная функция по отношению к .
Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической функции применяются обычные формулы интегрирования.
Пример 10. Вычислить .
Решение. .
Пример 11. Вычислить интеграл , где – верхняя половина окружности с центром единичного радиуса; направление обхода положительное ( – главное значение корня, получаемое из общей формулы при ).
Решение. .
y
B 0 A x
Рисунок 12 |
При . |
При
Основная теорема Коши для односвязной области. Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура , лежащего в , равен нулю.
Пусть – простой (несамопересекающийся) кусочно-гладкий замкнутый контур, – простые кусочно-гладкие замкнутые контуры, лежащие внутри , но вне друг друга. Если функция аналитична в многосвязной области, лежащей между контуром и контурами , и на этих контурах, то
.
(основная теорема Коши для многосвязной области).
Пример 12. Найти значение интеграла , если путь интегрирования не проходит через начало координат.
Решение. Если путь интегрирования не обходит начало координат
(рис. 13а), то .
y
z
0 1 x
а) |
y z С
m А 0 1 B x
б) |
y z С
m А 0 1 B x
в) |
|
Рисунок 13 |
|
Пусть путь интегрирования обходит один раз нулевую точку в положительном направлении (рис. 13б). Тогда (рис. 13в)
(рис. 13в);
y
m A B 0 1 x
Рисунок 14 |
(рис.14);
, где – окружность , т. к. в области между двумя контурами и функция аналитическая. |
Вычислим .
Тогда
Если путь интегрирования делает оборотов в положительном (или отрицательном) направлении около нулевой точки, то, очевидно, к значению прибавляется (или отнимается) число . Таким образом, при всяком
.
Если функция аналитична в области, лежащей внутри простого кусочно-гладкого замкнутого контура и на этом контуре, то для любой точки , лежащей внутри , справедливы формулы
(формула Коши),
(обобщенная формула Коши).
Пример 13. Вычислить интеграл ,
где 1) ; 2) .
Решение. 1) аналитична в круге . Используя формулу
y
0 4 x
Рисунок 15 |
Коши, получаем
. |
2) Так как аналитична внутри области, ограниченной окружно-
y
0 x
Рисунок 16
|
стью , то по теореме Коши
.
|
Пример 14. Вычислить интеграл .
y
-1 2 3 x
Рисунок 17 |
Решение. Подынтегральная функция аналитична везде, кроме точек и . Функция будет аналитической в трехсвязной области, являющейся кругом, ограниченным окружностью , из которого вырезаны два круга: ; , где – достаточно малая величина (рис. 17). |
Следовательно, по теореме Коши для многосвязной области
Для вычисления интеграла по контуру применим обобщенную формулу Коши, где аналитична внутри контура .
.
Для вычисления интеграла по контуру применим формулу Коши, где аналитична внутри контура :
Задачи
3.1. Вычислить , где – дуга параболы от точки до точки .
3.2. Вычислить , где – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и .
3.3. Вычислить по левой полуокружности с центром в точке и радиусом , если .
3.4. Вычислить , где – граница области .
3.5. Вычислить , где – произвольная линия, соединяющая точки .
3.6. Вычислить .
3.7. Вычислить по следующим контурам:
а) по полуокружности ( – ветвь, получаемая из общей формулы при );
б) по полуокружности .
3.8. Вычислить , где .
3.9. Вычислить .
3.10. Вычислить , где а) ; б) .
3.11. Вычислить , где – окружность .
3.12. Вычислить , где – окружность .
3.13. Вычислить .