Задачи для самостоятельного решения

3.14. Вычислить , где – отрезок прямой, соединяющей точ- ки и .

3.15. Вычислить , где – прямолинейный отрезок, соединяющий точки .

3.16. Вычислить , где – ломаная линия с вершинами в точках .

3.17. Вычислить по следующим линиям: а) – отрезок действительной оси от точки до точки ; б) – полуокружность .

3.18. Вычислить .

3.19. Вычислить по произвольной линии, соединяющей точки .

3.20. Какие значения может иметь интеграл , если за пути интегрирования принимать любые пути, вдоль которых подынтегральная функция непрерывна?

3.21. Вычислить , где .

3.22. Вычислить .

3.23. Вычислить , где – эллипс .

3.24. Вычислить , где – эллипс

3.25. Вычислить , если

а) точка 0 лежит внутри, а точка 1 – вне контура ;

б) точка 1 лежит внутри, а точка 0 – вне контура ;

в) обе точки 0 и 1 лежат внутри контура .

РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА

Если – аналитическая функция в круге , то она разлагается в этом круге в ряд Тейлора:

или ,

где .

( – любая окружность с центром , лежащая внутри круга ).

Если – аналитическая функция внутри кольца , , то она разлагается в этом кольце в ряд Лорана:

или ,

где

( – любая окружность с центром , лежащая внутри кольца ).

Ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд называется правильной частью ряда Лорана.

Разложения в ряд Тейлора и Лорана единственны.

Пример 15. Написать разложение функции по степеням в области в ряд Тейлора или Лорана:

а)	б)
в)

Решение. а) Степенной ряд функции в области является рядом Лорана, т. к. рассматриваемая область аналитичности этой функции есть кольцо .

Представим функцию в виде .

В окрестности точки выполняется неравенство , поэтому дробь можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем .

.

б) Степенной ряд функции в области является рядом Тейлора, т. к. рассматриваемая область аналитичности функции есть круг.

Определим коэффициенты ряда Тейлора:

Ряд Тейлора для функции в области будет иметь вид

в) Степенной ряд функции в области является рядом Лорана, т. к. рассматриваемая область аналитичности этой функции есть кольцо: .

Разложим функцию на простейшие дроби:

приняв во внимание, что при , можем записать

Следовательно,

где .

Пример 16. Разложить в ряд Лорана или Тейлора функцию

в окрестности точек а) б)

Решение. а) В окрестности точки данная функция разлагается в ряд Тейлора:

.

Последняя дробь есть сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии в области , т. е.

б) В окрестности точки функция разлагается в ряд Лорана. Функция уже представлена в виде отрицательной степени . Так как разложение в ряд Лорана единственно, есть разложение функции в ряд Лорана.

Если , то точка называется нулем функции. Если в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности точки

и, следовательно, ряд Тейлора имеет вид

,

то точка называется нулем функции -го порядка или -й кратности.

Из определения следует, что если точка – нуль -го порядка, то

Для того чтобы точка была нулем функции -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки имело место равенство

,

где – аналитическая функция в точке .

Пример 17. Определить нули функции и их порядок.

Решение. – нули 1-го порядка, т. к.

.

Пример 18. Определить нули функции и их порядок.

Решение. – нули 1-го порядка; – нули 2-го порядка. Точка , в которой нарушается аналитичность функции , является для этой функции особой точкой. Особая точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность , в которой функция аналитична.

Если разложение функции в окрестности изолированной особой точки в ряд Лорана

1) не содержит отрицательных степеней , то точка называется устранимой особой точкой;

2) содержит конечное число членов с отрицательными степенями , то точка называется полюсом функции ;

3) содержит бесчисленное множество членов с отрицательными степенями , то точка называется существенно особой точкой функции .

Для того чтобы изолированная особая точка была устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы при стремлении к функция имела соответственно конечный предел, бесконечный предел или не имела предела (ни конечного, ни бесконечного).

Если – устранимая особая точка , то после доопределения функции в этой точке по непрерывности функция становится аналитичной в точке .

Если – полюс , то в окрестности точки

,

где .

Число называется порядком полюса. Полюс 1-го порядка называется простым полюсом.

Для того чтобы точка была полюсом -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки имело место равенство

,

где – аналитическая функция в точке .

Если функция аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, то точка называется изолированной особой точкой . При этом точка называется устранимой особой точкой функции , полюсом или существенно особой точкой, если разложение в ряд Лорана в окрестности точки

соответственно не содержит положительных степеней , содержит конечное число положительных степеней или содержит бесконечное множество положительных степеней .

Подстановка сводит изучение функции в окрестности точки к изучению функции в окрестности точки .

Пример 19. Определить характер точки для функции .

Решение. – особая точка функции . Для выяснения ее характера

разложим функцию в ряд Лорана в области .

Так как разложение не содержит отрицательных степеней , то точка – устранимая особая точка.

Пример 20. Найти особые точки функции и выяснить их характер.

Решение. Точка – особая точка. Для выяснения ее характера разложим функцию в ряд Лорана в области .

;

;

.

– существенно особая точка.

Выясним характер особой точки . Для этого, положив , получим , причем точка для этой функции является правильной.

Разложим функцию в области в ряд Тейлора:

Отсюда

т. е.

Следовательно, точка – устранимая особая точка.

Если – устранимая особая точка функции , то говорят, что она аналитична в бесконечности и принимают .

Если функция аналитична в бесконечно удаленной точке и , то точка называется нулем -го порядка функции , если

.

Пример 21. Найти особые точки функции , выяснить их характер и исследовать поведение функции на бесконечности.

Решение. .

– полюс 3-го порядка; – полюсы 2-го порядка; – нуль 7-го порядка.

Задачи

4.1. Разложить в ряд Тейлора функцию по степеням в окрестности точки .

4.2. Написать разложение функции по степеням в области в ряд Лорана или Тейлора: а) ; б) ; в) .

4.3. Разложить в ряд Тейлора или Лорана функцию в окрестности точек: а) ; б) ; в) .

4.4. Зная разложение , найти разложение по степеням функции при .

4.5. Разложить в ряд Лорана функцию в кольце и в окрестности точки (в последнем случае надлежит определить окрестность, в которой разложение имеет место).

4.6. Найти порядки нулей данных функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

4.7. Определить характер точек следующих функций:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

4.8. Найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности: а) б)