Модель обслуживания машинного парка

Модель обслуживания машинного парка представляет собой модель замкнутой системы массового обслуживания.

До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность входящего потока за­явок не зависит от состояния системы. В этом случае источник за­явок является внешним по отношению к СМО и генерирует нео­граниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых зависит от состояния системы, при­чем источник требований является внутренним и генерирует огра­ниченный поток заявок.

Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина мо­жет обслуживаться только одним механиком. Здесь машины явля­ются источниками требований (заявок на обслуживание), а меха­ники — обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и ста­новится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N — k) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожи­дая обслуживания (k).

В рассматриваемой модели емкость источника требований сле­дует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N — k), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслу­живания. При этом каждая машина из (N — k) находится в эксплу­атации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсивностью независимо от других объектов, общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность (N —k) ■ к. Требование, посту­пившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все ка­налы занятыми обслуживанием других требований, то оно не по­кидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из кана­лов не станет свободным.

Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.

Состояние S_k системы характеризуется общим числом требова­ний, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, k = 0, 1,2, ..., N. При этом если система находится в состоянии S_k, то число объек­тов, находящихся в эксплуатации, равно (N — k).

Если — интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то:

Система алгебраических уравнений, описывающих работу за­мкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим об­разом:

(4.40)

Решая данную систему, находим вероятность k-го состояния:

(4.41)

Величина Р₀ определяется из условия нормирования

полученных результатов по формулам (4.41) для P_k ,k=1,2,…,N.

Определим следующие вероятностные характеристики системы:

• среднее число требований в очереди на обслуживание:

(4.42)

• среднее число требований, находящихся в системе (на обслужи­вании и в очереди)

(4.43)

• среднее число механиков (каналов), «простаивающих» из-за от­сутствия работы

(4.44)

• коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди

(4.45)

• коэффициент использования объектов (машин)

(4.46)

• коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)

(4.47)

среднее время ожидания обслуживания ( время ожидания обслуживания в очереди)

(4.48)

Пример 4.6. Пусть для обслуживания десяти персональных ком­пьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производитель­ности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера — пуассоновский с интенсивностью = 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: = 1,25 час.

Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:

• оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 2, N = 10;

• каждый из двух инженеров обслуживает по пять закреплен­ных за ним ПК. В этом случае R = 1, N = 5.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу­живания ПК.

Решение

1. Вычислим параметр обслуживания

2. Приведенная интенсивность

3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух ва­риантов организации обслуживания ПК.

Вариант

• Определим вероятности состояний системы:

• Учитывая, что и используя результаты расчета P_k, вычислим P₀:

Откуда P₀ = 0,065,

тогда

• Определим среднее число компьютеров в очереди на обслужи­вание:

• Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на обслу­живании и в очереди):

• Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за от­сутствия работы:

• Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди сле­дующий:

• Коэффициент использования компьютеров определяется по фор­муле:

• Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитыва­ется так:

• Среднее время ожидания ПК обслуживания

Вариант 2

• Определим вероятности состояния системы

Откуда

Тогда

• Среднее число компьютеров в очереди на обслуживание таково:

• Среднее число компьютеров, находящихся на обслуживании и в очереди, рассчитывается так

• Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия ра­боты:

• Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди

• Коэффициент использования компьютеров:

• Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:

• Среднее время ожидания ПК обслуживания:

Сведем полученные результаты по двум вариантам в следую­щую таблицу:

Итоговые вероятностные характеристики	Варианты
	1	2
	0,142	0,199
	0,689	0,64
	0,146	0,199
	1,01	1,56

Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очере­ди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,142 ча­сти рабочего времени, что меньше этого показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в . любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна = 0,689 > ⁼ 0,64. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК эффективнее, чем вариант 2.

Задачи

3.1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока = 0,95 вызова в минуту. Средняя продол­жительность разговора = 1 мин. Определите вероятностные ха­рактеристики СМО в установившемся режиме работы.

3.2. В одноканальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью = 0,5 заявки в минуту. Время об­служивания заявки имеет показательное распределение с = 1,5 мин. Определите вероятностные характеристики СМО в устано­вившемся режиме работы.

1. из вычислительном центре работает 5 персональных компью­теров (ПК). Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность = 10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты. Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания (ВЦ).

2. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью = 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью незави­симыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (об­служивание заявок). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Определите вероятностные характе­ристики аудиторской фирмы как системы массового обслужива­ния, работающей в стационарном режиме.

3. На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности = 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., ...в очереди может находиться не более 5 автомобилей. Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.

4. Используйте условия задачи 3.5 ( = 4; t = 17 мин.). Однако ограничения на очередь сняты. Вычислите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме. Определите, эффективно ли снятие ограничения на длину очереди.

7. На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет 10 машин, требующих ремонта с учетом числа ремонтирующихся. Отказы машин происходят с частотой = 10 отк/час. Для устранения неисправности механику требуется в среднем t = 3 мин. Распределение моментов возникновения отка­зов является пуассоновским, а продолжительность выполнения ре­монтных работ распределена экспоненциально. Возможно органи­зовать 4 или 6 рабочих мест в цехе для механиков предприятия. Необходимо выбрать наиболее эффективный вариант обеспечения ремонтного цеха рабочими местами для механиков.

8. В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. По­ток сотрудников, получающих заработную плату, — простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Время об­служивания подчинено экспоненциальному закону распределения. Вычислите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме и определите целесообразность приема третьего кассира на предприятие, работающего с такой же производительностью, как и первые два.

9. В инструментальном отделении сборочного цеха работают три кладовщика. В среднем за I мин. за инструментом приходят 0,8 рабочего ( = 0,8). Обслуживание одного рабочего занимает у кла­довщика t = 1,0 мин. Очередь не имеет ограничения. Известно, что поток рабочих за инструментом — пуассоновский, а время об­служивания подчинено экспоненциальному закону распределения. Стоимость 1 мин. работы рабочего равна 30 д. е., а кладовщика —15 д. е. Найдите средние потери цеха при данной организации об­служивания в инструментальном отделении (стоимость простоя) при стационарном режиме работы.

10. Билетная касса работает без перерыва. Билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания — 2 мин. на каждого че­ловека. Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты в кассе в течение одного часа, равно = 20 пасс/час. Все потоки в системе простейшие. Определите среднюю длину очереди, вероят­ность простоя кассира, среднее время нахождения пассажира в би­летной кассе (в очереди и на обслуживании), среднее время ожида­ния в очереди в условиях стационарного режима работы кассы.

Пост диагностики автомобилей представляет собой одноканальную СМО с отказами. Заявка на диагностику, поступившая в момент, когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику =0,5 автомобиля в час. Средняя продол­жительность диагностики t = 1,2 часа. Все потоки событий в системе простейшие. Определите в установившемся режиме вероятно­стные характеристики системы.

12. Используйте условия задачи З.П ( = 0,5; t = 1,2 час). Однако вместо одноканальной СМО (п = 1) рассматривается трехканальная (n = 3), т. е. число постов диагностики автомобилей уве­личено до трех. Найдите вероятностные характеристики СМО в ус­тановившемся режиме.

13. Автозаправочная станция представляет собой СМО с од­ним каналом обслуживания и одной колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех автомо­билей одновременно. Если в очереди уже находится три автомоби­ля, очередной автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность = 0,7 автомобиля в минуту. Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Все потоки простейшие. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

14. Используйте условия задачи 3.13. Однако ограничения на длину очереди сняты. Найдите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме. Определите, выгодно ли в данной ситуации снятие ограничения на длину очереди в предположении, что дополнительных финансовых ресурсов не требуется для расши­рения площадки при АЗС.

15. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью = 2 состава в час. Среднее время, в те­чение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 час. Составы, прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеется три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибыв­ший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия за­няты, становится в очередь на внешний путь. Все потоки событий простейшие.

При установившемся режиме найдите:

среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его);

среднее время ожидания в парке прибытия и на внешних путях;

среднее время ожидания состава в системе обслуживания;

вероятность того, что прибывший состав займет место на внеш­них путях.

3.16. Рассматривается работа АЗС, на которой имеется три за­правочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нужда­ющаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь на заправку, дожидаются своей очереди. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятно­стные характеристики работы АЗС в стационарном режиме.

17. На станцию технического обслуживания (СТО) автомоби­лей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограниченна. Среднее время обслуживания од­ной машины — 2 часа. Все потоки в системе простейшие. Опреде­лите вероятностные характеристики станции технического обслу­живания автомобилей.

18. Используйте условия задачи 3.17, однако на СТО нет воз­можности организовать стоянку для автомобилей, ожидающих об­служивания. Каждый автомобиль, прибывающий в момент, когда все посты заняты, получает отказ в обслуживании. Определите ве­роятностные характеристики СТО автомобилей.

19. В вычислительном центре работает 9 персональных ком­пьютеров (ПК). Простейший поток неисправностей имеет ин­тенсивность 0,3 отказа в день. Среднее время устранения одной не­исправности одним инженером равно 1,5 час. Компьютеры обслу­живают три инженера с одинаковой производительностью. Все по­токи событий простейшие. Возможны следующие варианты орга­низации обслуживания ПК:

три инженера обслуживают все 9 компьютеров, так, что при от­казе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 3; N = 9;

каждый из трех инженеров обслуживает по три закрепленных за ним ПК. В этом случае R = 1; N = 3.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу­живания ПК.

3.20. Малое транспортное предприятие эксплуатирует десять моделей автомобилей одной марки. Простейший поток отказов ав­томобилей имеет интенсивность = 0,25 отказа в день. Среднее время устранения одного отказа автомобиля одним механиком рав­но 2 час. Все потоки событий простейшие. Возможны два вариан­та обслуживания:

все автомобили обслуживают два механика с одинаковой про­изводительностью;

все автомобили предприятия обслуживают три механика с оди­наковой производительностью.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу­живания автомобилей.

3.21. На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов обслу­живания, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает от­каз, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в одном канале равно 4 мин. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики телефонной станции, выступаю­щей в качестве СМО.

3.22. В магазине работает один продавец, который может об­служить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей про­стейший с интенсивностью, равной 60 покупателей в час. Все по­купатели «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит 5 человек (помимо обслуживаемых). Все потоки событий простейшие. Опре­делите следующие вероятностные характеристики магазина для ста­ционарного режима работы:

вероятность обслуживания покупателя;

абсолютную пропускную способность магазина;

среднюю длину очереди;

среднее время ожидания в очереди;

среднее время всего обслуживания;

вероятность простоя продавца.

23. Рассматривается работа АЗС, на которой имеется пять за­правочных колонок. Заправка одной машины длится в среднем 4 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нужда­ющаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограниче­но. Все машины, вставшие в очередь, дожидаются своей очереди. Все потоки событий простейшие. Определите вероятностные ха­рактеристики АЗС для стационарного режима.

24. Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью = 3 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки t = 0,5 час. Каж­дая обслуженная заявка приносит доход 5 д. е. Содержание канала обходится 3 д. е./час. Решите, выгодно ли в экономическом отно­шении увеличить число каналов СМО до трех.

25. Подсчитайте вероятностные характеристики для простей­шей одноканальной СМО с тремя местами в очереди при условиях = 4 заявки/час; t = 0,5 час. Выясните, как эти характеристики изменятся, если увеличить число мест в очереди до четырех.

26. Как изменятся характеристики эффективности СМО в за­даче 3.25, если и остаются прежними, а ограничение на число мест в очереди снято.

27. Одноканальная СМО — ЭВМ, на которую поступают за­явки (требования на расчеты). Поток заявок простейший со сред­ним интервалом между заявками t = 10 мин. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием t_обсл = 8 мин. Определите среднее число заявок в СМО, среднее число заявок в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и в очереди.

Система массового обслуживания — билетная касса с тре­мя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 чело­век за 20 мин. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кас­сир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время об­служивания подчинено показательному закону распределения. Оп­ределите вероятностные характеристики СМО в стационарном ре­жиме.

29. Технические устройства (ТУ) могут время от времени вы­ходить из строя (отказывать). Поток отказов ТУ простейший с ин­тенсивностью = 1,6 отказа в сутки. Время восстановления ТУ имеет экспоненциальное распределение. Математическое ожидание времени обслуживания t = 0,5 суток. Количество каналов, выпол­няющих обслуживание ТУ, равно 5 ед. Количество заявок в очере­ди не ограничено. Определите вероятностные характеристики СМО, выполняющие обслуживание ТУ в установившемся режиме.

30. Как изменятся вероятностные характеристики СМО зада­чи 3.29, если и остаются прежними, но число каналов обслужи­вания уменьшится до двух?