Вариационный ряд часовой выработки автомобиля

Интервал	4-5,5	5,5-7,0	7,0-8,5	8,5-10	10-11,5	11,5-13,0	13-14,5	14,5-16
Частота	0,07	0,14	0,17	0,17	0,15	0,14	0,11	0,05

Решение

Для построения гистограммы определим её ординаты из выражения:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Основываясь на данных табл. 2.1 и проведенных расчетах пост­роим гистограмму (рис. 2.4).

Следует отметить, что при неограниченном увеличении объема выборки п кривая гистограммы частот совпадает с графиком плот­ности вероятностей.

Построим статистическую функцию распределения часовой вы­работки автомобиля:

1. при х 4 ;

2. при 4 < х 5,5 ;

3. при 5,5<х 7 ;

4. при 7<х 8,5

5. при 8,5<х 10

6. при 10<х 11,5

7. при 11,5<х 13

8. при 13<х 14,5

9. при 14,5<х 16 ;

Рис.2.4. Гистограмма часовой выработки автомобиля

График статистической функции распределения представлен на рис.2.5.

Рис.2.5.Статистическая функция распределения часовой выработки автомобиля

Статистическая функция распределения случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой про­исходят в точках, соответствующих возможным значениям случай­ной величины, и равны эмпирическим вероятностям этих значе­ний. Сумма всех скачков функции F*(x) равна единице. По мере увеличения объема выборки и уменьшения интервалов число скачков становится больше, а сами скачки — меньше; ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее статистическая функ­ция распределения — к непрерывной функции — интегральной функции распределения F(x).

2.4. Основные законы распределения случайных величин

Полигон распределения и гистограмма есть реализация распре­деления выборочной совокупности при ограниченном числе на­блюдений (N), а предельная кривая при является распреде­лением генеральной совокупности. Распределение генеральной со­вокупности является теоретическим распределением. Отдельные распределения изучены и поддаются точному аналитическому опи­санию. Приведем некоторые из них.

Дискретные законы распределения

А. Биномиальное распределение

Это распределение числа X появления события А в серии из п независимых испытаний. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна р, а вероятность его отсутствия q = 1 — р. В каждом испытании возможно два исхода: наступление или нена­ступление события А. При сформулированных условиях ряд рас­пределения числа появления события А определяется формулой Бернулли:

(2,41)

или

(2,42)

где P(x=m)- вероятность появления события A равна m раз в серии из n испытаний.

Характер биномиального распределения определяется двумя параметрами: р и п. Определим числовые характеристики биноминального распределения случайной величины X:

• Математическое ожидание:

(2.43)

• Дисперсию:

(2.44)

• Коэффициент асимметрии (скошенности) распределения:

(2.45)

• Коэффициент эксцесса (мера крутости) распределения:

(2.46)

Из формул (2.45) и (2.46) следует, что при р = q биномиальное распределение симметрично относительно математического ожида­ния, следовательно, эксцесс Достигает наибольшее по модулю от­рицательное значение. Если > 0, то имеется положительный экс­цесс (вершина сильно вытянута); если < 0, то имеется отрица­тельный эксцесс (низковершинная кривая); если = 0, то имеет­ся нормальное распределение

Если а_х > 0, то асимметрия положительная;

если а_х < О, то асимметрия отрицательная;

если а_х = 0, то распределение симметричное.

Пример 2.2. Техническая система состоит из пяти независимo друг от друга функционирующих узлов. Определить математически ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них р = 0,2.

Решение

1. Математическое ожидание числа отказов:

;

2. Дисперсия:

;

3. Среднее квадратическое отклонение:

;

4. Коэффициент асимметрии:

;

5. Коэффициент эксцесса:

Б. Распределение Пуассона

Данное распределение является предельным случаем биноми­ального распределения. Предположим, что в биномиальном рас­пределении и , так, что . Тогда плотность вероятности биномиального распределения принимает вид:

(2.47)

что и является распределением Пуассона. Формула (2.47) выража­ет ряд распределения Пуассона. Заметим, что распределение Пуас­сона зависит только от одного параметра — математического ожидания М[Х] = а. Основные числовые характеристики случайной ве­личины, имеющей распределение Пуассона, равны величине а > 0, a именно дисперсия случайной величины X, имеющей распределе­ние Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близости эмпирического распределения к распределению Пуассона.

Пример 2.3. Определить вероятность того, что на АЗС находится один или хотя бы один автомобиль, если среднее число автомоби­лей, находящихся в данном интервале времени на АЗС, а = 3.

Решение

1. Вероятность нахождения одного автомобиля на АЗС сле­дующая:

. Вероятность того, что на АЗС будет находиться хотя бы один

автомобиль, равна вероятности того, что на АЗС будет находиться не менее одного автомобиля, т. е.

Непрерывные распределения вероятностей

В. Нормальное распределение

Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное. Плотность нормального распределения определяется по формуле:

(2.48)

Непрерывная случайная величина X принимает значения от - до +. Соответствующая функция распределения равна:

(2.49)

Кривой плотности вероятности f(x) нормального распределе­ния является плавная колоколообразная симметричная кривая, уравнение которой — формула (2.48).

Перечислим основные свойства нормального распределения.

1. Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.

2. Кривая плотности вероятности f(x) нормального распределе­ния симметрична относительно математического ожидания т_х. Максимум плотности распределения соответствует абсциссе, равной т_х.

3. При ветви кривой распределения асимптотически приближаются к оси Ох.

4. Математическое ожидание случайной величины X, распреде­ленной в соответствии с нормальным законом, совпадает по вели­чине с ее модой и медианой.

5. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распре­деления равны нулю.

Величина математического ожидания не влияет на форму кри­вой плотности распределения f(x). С возрастанием максималь­ная ордината кривой постоянно убывает и нормальная кривая становится все более пологой. При уменьшении нор­мальная кривая становится все круче, т. е. растягивается вдоль оси ординат. При значении = 1 и т_х = 0 нормальную кривую назы­вают нормированной, а соответствующий закон распределения — стандартным нормальным законом распределения с плотностью:

(2.50)

Соответствующая функция распределения имеет вид:

(2.51)

Путем подстановки нормальное распределение с произвольными параметрами т_х и приводится к стандартному виду. Вероятность попадания случайной величины в заданный ин­тервал от до равна:

(2.52)

где

(2.53)

(2.54)

Интегралы (1.53) и (1.54) не выражаются через элементарные функции, поэтому для вычислений по формуле (1.52) обычно осуществляют замену и и переходят к функции стандартного нормального закона распределения, которая име­ет вид — формулы (1.51). Тогда

Значения функции стандартного нормального закона распреде­ления табулированы и приведены в приложении 6.

Отклонения случайной величины X от математического ожида­ния практически заключены в интервале , при этом вероят­ность попадания X в данный интервал равна 0,9973.

Пример 7.4._Среднее время обслуживания персонального ком­пьютера (ПК) = 2 ч. Среднее квадратическое отклонение вре­мени обслуживания равно = 0,403 ч. Определить вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2,5 ч.

Решение

1. Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5; 2,5] будет равна:

p(1.5<t<2.5)=F(2.5)-F(1.5)

2. Определим z:

3. По таблицам приложения 6 определим значение стандартной нормальной функции распределения:

4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интер­вала времени [ 1,5; 2,51 будет равна:

р(1,5 < t < 2,5) = Ф(z₂) - Ф(z₁) = 0,892 - 0,107 = 0,785.

Г. Гамма-распределение и распределение Эрланга

Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распреде­ление, если ее плотность распределения вычисляется по формуле:

при x>0, (2.55)

где и k>0;

Г(к) — гамма-функция:

(2.56)

если к — целое неотрицательное число, то

Г(k)=k! (2.57)

Математическое ожидание случайной величины X, подчинен­ной гамма-распределению, равно:

(2.58)

При этом дисперсия величины X определяется по формуле:

(2.59)

При целом к > 1 гамма-распределение превращается в распре­деление Эрланга к-го порядка, т. е.

(x>0;k=1,2,…) (2.60)

Закону Эрланга к-го порядка подчинена сумма независимых случайных величин х₁ +х₂ + … + х_k, каждая из которых распреде­лена по показательному закону с параметром .

При к = 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром .

Д. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой:

(2.61)

Положительная величина X является параметром показательно­го распределения.

Функция распределения случайной величины X выглядит сле­дующим образом:

(2.62)

Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.9.

а) функция показательного б)плотность показательного

распределения распределения

Рис. 2.9. Графики показательного распределения

Математическое ожидание случайной величины X, имеюще1 показательное распределение, обратно его параметру, т. е.

(2.63)

Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное рас­пределение, равна

. (2.64)

Отсюда

,т.е. . (2.65)

Коэффициент вариации случайной величины X, имеющей по­казательное распределение, равен единице:

Существует важное соотношение между пуассоновским и экс­поненциальным распределениями. Если случайная величина под­чинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в еди­ницу времени, то случайная величина, которая определяет проме­жуток времени между двумя последовательными отказами, распре­делена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно, в сущности, вывести из распределения Пу­ассона.

Е. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерное рас­пределение на отрезке [а, b], если на этом отрезке плотность рас­пределения постоянна, а вне его — равна нулю:

(2.66)

Значения f(x) в крайних точках а и b участка (а, Ь) не указыва­ются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок [а, b].

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [а,b], равно:

(2.67)

Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное рас­пределение на участке [а, b], вычисляется по формуле:

(2.68)

Отсюда

(2.69)

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на участок выразим формулой:

(2.70)

Пример 2.5. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не пре­высит 3 мин?

Решение

Так как = 3 мин., а (b — а) = 4 мин., то