7.3. Прогнозирование с помощью методов экстраполяции

Прогнозирование с помощью методов экстраполяции должно включать следующие этапы работ.

1. Установление цели и задачи исследования, анализ объекта про­гнозирования.

Прогнозирование развития любой системы (предприятия, фир­мы и т. д.) предъявляет специфические требования к параметрам (объектам), характеризующим и определяющим ее развитие. По­этому необходимо на первом этапе работ провести детальное логи­ческое изучение системы: зависимость рассматриваемого объекта (параметра, показателя) от других систем одного уровня и субсис­темы (системы более высокого уровня); взаимосвязь между данным объектом и другими объектами системы; установление характера предоставления статистических данных об объекте.

2. Подготовка исходных данных.

Работы по этому этапу начинаются с проверки временного ря­да, в результате которой устанавливаются полнота ряда (наличие данных за каждый год (месяц, квартал) ретроспективного периода), сопоставимость данных и, в случае необходимости, проверка мето­дики приведения данных к сопоставимому виду. Если временной ряд представлен не полностью, то необходимо недостающие дан­ные определить с помощью тех или иных методов интерполяции в зависимости от характера протекания процесса.

Наряду с этим осуществляется также формирование массива функций, который в последующем будет использован для выбора вида математической модели.

3. Фильтрация исходного временного ряда.

В результате этой процедуры устраняются случайные возмуще­ния (флуктуации), возникающие под воздействием неучтенных факторов или ошибок измерения относительно наиболее вероятно­го протекания процесса, и тем самым исключается искажающее влияние случайных колебаний на выбор вида регрессии. Фильтра­ция исходного динамического ряда включает его сглаживание и выравнивание.

Сглаживание применяется для устранения случайных отклоне­ний (шума) из экспериментальных значений исходного ряда. Сгла­живание производится с помощью многочленов, приближающих (обычно по методу наименьших квадратов) группы опытных точек. Наилучшее сглаживание получается для средних точек группы, поэтому желательно выбирать нечетное количество точек в сглажива­емой группе. Обычно их выбирают три или пять. Например, по первым трем точкам (у₁, у₂, y₃) сглаживают среднюю у₂, затем по следующей тройке (у₂, y₃, у₄) сглаживают у₃ и т. д. Крайние точки сглаживают по специальным формулам.

Чаще всего для сглаживания применяют линейную зависимость. Тогда формулы сглаживания для групп из трех точек имеют вид:

(7.11)

(7.12)

(7.13)

где - значения исходной и сглаженной функций в средней точке группы;

- значения исходной и сглаженной функций в левой точке группы;

- значения исходной и сглаженной функций в правой точке группы.

Формулы (7.12), (7.13) применяются для сглаживания крайних точек ряда. Для сглаживания по пяти точкам формулы имеют вид:

(7.14)

(7.15)

(7.16)

(7.17)

(7.18)

Сглаживание (даже в простом линейном варианте) является во многих случаях эффективным средством выявления тренда при на­личии в экспериментальных точках случайных помех и ошибок из­мерения.

Выравнивание применяется для более удобного представления исходного ряда без изменения его числовых значений. Выравниванием называется приведение исходной эмпирической формулы

Y=f(t,a,b) (7.19)

где t — время,

a,b — параметры,

к виду

у = а₁Т + b₀

Использование двухпараметрической зависимости (7.19) объяс­няется ее наибольшим распространением в практике прогнозиро­вания и сравнительно простыми способами получения выравнива­емых формул. Функции с большим (чем 2) числом параметров вы­равниваются не всегда, и формулы имеют громоздкий вид.

Наиболее распространенными способами выравнивания явля­ются логарифмирование и замена переменных.

Пример 7.1. Дана исходная функция у =аt^b

Логарифмируя, получим lgy = lga + blgt.

Вводя замену переменных, имеем: T=lgt; Y=lgy; Y= а₁Т + b₁

где а₁= b; b₁ = Igа.

Перестроив исходные данные (точки) на логарифмической бу­маге, получим линейную зависимость, с которой легче работать и определять коэффициенты. Затем нужно пересчитать результаты по формулам, обратным исходному преобразованию.

Пример 7.2. Дана исходная формула у = а•е^bt.

Выравнивание lgy =lgа + в• t •Ige; а₁ = b • Ige; b₁ = lga.

Тогда Y= lgy= b₁+ а₁•t.

Пример7.З. Дана исходная формула y=1/(a•t+b).

ВыравниваниеY= 1/y = a•t + b.

Пример 7.4. Дана исходная формула y=1/(a+b• е^t).

ВыравниваниеY= 1/y; T = е^-t; а₁=b; b₁=a; Y=b₁+ а₁•T.

Можно рассматривать выравнивание не как метод представле­ния исходного динамического ряда, а как метод непосредственно­го приближенного определения параметров аппроксимирующей функции, что часто и делается на практике