2.5. Выбор теоретического закона распределения случайной величины

В любом статистическом распределении присутствуют элемен­ты случайности, и, как следствие, экспериментальные точки гисто­граммы обычно колеблются от опыта к опыту около неизвестной кривой истинного распределения.

При наличии числовых характеристик случайной величины (ма­тематического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть определены в первом прибли­жении по табл. 2.2.

Таблица 2.2

Законы распределения случайной положительной величины в зависимости от коэффициента вариации

Пределы изменения коэффициента вариации Vx	Закон распределения случайной величины X
	Нормальный
0,3 < Vx < 0,4	Гамма-распределение
	Вейбулла
	Экспоненциальный, Пуассона

Для более точного определения теоретического закона распре­деления проводят дополнительную статистическую обработку дан­ных. При обработке статистических данных решают вопрос о том, как подобрать для исходного статистического ряда теоретическую кривую распределения, которая выражала бы лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, обусловлен­ные недостаточным объемом выборки экспериментальных данных. Под построением теоретической кривой распределения понимается такая обработка статистических данных, когда обеспечивается под­бор наиболее подходящего теоретического закона распределения, который может быть задан либо функцией распределения F(x), ли­бо плотностью распределения f(х).

Для построения теоретической кривой распределения исход­ный статистический ряд распределения аппроксимируется одной из дифференциальных функций теоретического распределения f(x). При этом выбирается такая функция f(x), которая обеспечивала бы максимальное приближение теоретических данных к эмпиричес­ким . Для оценки правдоподобия этого приближенного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции f(x).

Наиболее употребительными критериями согласия являются критерий К. Пирсона и критерий А. Н. Колмогорова. Для примера подробно рассмотрим критерий К. Пирсона.

Критерий К. Пирсона

Согласно критерию К. Пирсона в качестве меры расхожде­ния между теоретическим законом распределения и статистичес­ким распределением выбрана величина, определяемая следующим выражением:

(2.71)

где k - число интервалов статистического ряда;

— статистическая вероятность попадания случайной величины в интервал;

— теоретическая вероятность попадания случайной величины X в i-й интервал.

Учитывая соотношение , выражение (2.71) после преобразований записывается в виде:

(1.72)

где — эмпирическое количество значений случайной величины, попа­дающих в i-й интервал.

Для того чтобы выяснить, является ли полученное расхождение случайным за счет ограниченного объема выборки или свиде­тельствует о наличии существенной разницы между теоретическим и статистическим распределениями, необходимо вычислить веро­ятность такого расхождения , т. е. вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоре­тического и статистического распределений будет не меньше, чем фактическое значение для данной выборки. Величина веро­ятности расхождения определяется по специальным таблицам при известных значениях r и .

Число степеней свободы r вычисляется для данного статистиче­ского ряда распределения как

r=k-1, (2.73)

где l — число исчисленных статистических характеристик (средняя, дис­персия и т. д.), использованных при вычислении теоретического распределения.

Если искомая вероятность окажется очень малой, практически меньше 0,1, то выбранное теоретическое распределение следует считать неудачным. При относительно большом значении искомой вероятности теоретическое распределение можно признать не про­тиворечащим опытным данным.

Следует отметить, что критерий К. Пирсона применим в тех случаях, когда объем выборки и в каждом интервале число наблюдений не менее .

Пример 2.6. Пользуясь критерием К- Пирсона, подобрать те­оретический закон распределения для часовой выработки автомо­билей КамАЗ-5511, статистическое распределение которой приве­дено в табл. 2.1 примера 2.1.

Решение

По форме гистограммы рис. 2.4 можно предположить, что ча­совая выработка автомобиля подчиняется нормальному закону.

Для оценки числовых характеристик нормального распределе­ния вычислим:

математическое ожидание

= (9.7 ‑6.25)∙ 0.14 + (9.7 ‑7.75)∙0.17 + (9.7 ‑9.25)∙ 0.17 + (9.7 ‑10.75)∙-0.15 + (9.75 ‑12.25)∙ 0.14 + (9.7 ‑13.75)∙ 0.11 + (9.7 ‑15.25)∙ 0.05 ≈8.48, дисперсию где - значение середины i-го интервала.

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Величина V_x = 0,3 свидетельствует о том, что теоретическое рас­пределение близко к нормальному закону распределения. Прове­рим данную гипотезу, воспользовавшись критерием согласия .

Определим теоретическую вероятность попадания значений ча­совой выработки автомобиля в заданные интервалы, используя формулу (2.52):

где - границы i-го интервала (табл. 2.1.).

Затем составим сравнительную таблицу (табл.2.3.) чисел попаданий в интервалы и соответствующих значений (n=100)

Таблица 2.3.