4. Логический отбор видов аппроксимирующей функции.

На основании изучения статистических данных и логического анализа протекания изучаемого процесса из заданного массива функций отбираются наиболее приемлемые виды уравнений связи. Этот этап необходим, так как позволяет при отборе функций учесть основные условия протекания рассматриваемого процесса и требо­вания, предъявляемые к математической модели. На этом этапе должны быть решены следующие вопросы:

• является ли исследуемый показатель величиной монотонно возрастающей (убывающей), стабильной, периодической, имеющей один или несколько экстремумов;

• ограничен ли показатель сверху или снизу каким-либо пределом;

• имеет ли функция, определяющая процесс, точку перегиба;

• обладает ли анализируемая функция свойством симметричности;

• имеет ли процесс четкое ограничение развития во времени.

Рассмотрим те функции, которые предпочтительно использо­вать в прогнозной экстраполяции.

В качестве аппроксимирующих функций чаще всего использу­ются различные полиномы с ограничением числа членов (степени полинома). Это

степенной полином (7.21)

экспоненциальный полином (7.22)

гиперболический полином (7.23)

y(t) - прогнозируемый показатель;

t = время

а_0, а_1… а_n — параметры (коэффициенты), подлежащие определению

Опыт применения аппроксимирующих функций для целей про­гнозирования показывает, что наиболее простыми (математически) и чаще всего используемыми являются следующие функции:

• линейная y(t) = a + b t; (7.24)

• квадратичная y(t) = a + b t+ct²; (7.25)

• степенная y(t) = a t^b; (7.26)

• экспоненциальная y(t) = a ехр(bt); (7.27)

• модифицированная экспонента y(t) = k - ae ^-bt; (7.28)

• гиперболическая y(t) = a +b/(c+t); (7.29)

• логистическая кривая y(t) = k/(1+be ^–et); (7.30)

где – a,b,c,k - параметры.

Когда это возможно, при выборе вида аппроксимирующей функции прибегают к графическому способу подбора по виду то­чек временного ряда, расположенных на плоскости y0t. Если по графику подобрать функцию трудно, иногда прибегают к анализу производных от соответствующих видов функций аппроксимации (или разностей ∆_0, ∆_1… ∆_n) соответствующего порядка.

Выбирают ту функцию для прогноза, арифметическая средняя для разностного ряда которого будет равна нулю или близка к ну­лю по абсолютной величине.

Окончательное решение о виде аппроксимирующей функции может быть принято после определения ее параметров и верифика­ции прогноза по ретроспективному ряду. Поэтому для прогнозиро­вания используют несколько подходящих аппроксимирующих функций, с тем чтобы после оценки точности выбрать наиболее подходящую.