5.2. Методы построения переходных процессов

Все современные методы анализа качества переходного процесса регулирова­ния можно разделить на две основные группы.

К первой группе относятся методы непосредственного решения (интегриро­вания) тем или иным способом дифференциальных уравнений системы и выполне­ния согласно этому решению графического построения переходного процесса. Это прямые методы анализа. Они являются наиболее точными при исследовании качественных показателей системы. Однако эти методы становятся трудоемкими для дифференциальных уравнений высоких порядков, особенно если при этом требуется выяснить влияние тех или иных параметров системы на переходный процесс. Та­кие задачи аффективно решаются с применением вычислительных машин путем мо­делирования системы.

Ко второй группе относятся методы, позволяющие (в той или иной мере) обойти громоздкие вычислительные операции. Это косвенные методы анализа, не требующие построения кривой переходного процесса.

Рассмотрим первую группу методов. Практическое применение при реше­нии дифференциальных уравнений в ТАУ нашли методы преобразования Лапласа и Фурье.

Преобразование Лапласа является функциональным и служит для преобразования функций вещественной переменной в функции комплексной пере­менной.

Построение переходного процесса с помощью преобразований Лапласа можно свести к двум этапам:

1. По известным дифференциальным уравнениям САУ и известному внешнему воздействию f(t) определяют изображение регулируемой величины

,

которое представляют обычно в следующей форме:

. (5.1)

2. По найденному изображению (5.1) на основании формул обратного преобразования Лапласа определяют зависимость регулируемой величины от времени x(t) при заданном внешнем воздействии f(t), например, полагают, что

.

В общем случае x(t) можно представить в виде составляющих

х(t)= х_С (t)+х_В (t).

Метод, основанный на преобразованиях Лапласа, практически не имеет ограничений, позволяет анализировать как собственные, так и вынужденные колебания САУ в переходном режиме. Недостаток метода связан с необходимо­стью определения корней характеристического уравнения.

Преобразования Фурье также являются функциональными, так как они преобразуют некоторую функцию переменного t в совершенно иную функцию переменного w , и наоборот.

Преобразования Фурье имеют вид:

X(iω)= (5.2)

x(t)= (5.3)

Интегральное уравнение (5.2) называется прямым, а уравнение (5.3) - об­ратным преобразованием Фурье.

Интеграл Фурье (прямое преобразование Фурье) позволяет разложить непериодическую функцию x(t), обладающую свойством абсолютной интегрируе­мости в заданных пределах, в бесконечный ряд гармоник, образующих непрерыв­ный спектр частот в интервале от - ∞ до +∞ с бесконечно малым интервалом частот между смежными гармониками (т.е. в пределе ∆→0 ).

Метод преобразования Фурье непригоден при ненулевых начальных (или граничных) условиях. Этот метод может применяться лишь тогда, когда искомые функции имеют изображение Фурье, т.е. для абсолютно интегрируемых функций времени, удовлетворяющих неравенству

(5.4)

Наиболее часто встречающимися в ТАУ функциями яв­ляются единичная ступенчатая функция и произведение синусоидальной функции на единичную функцию. Преобразование Фурье неприменимо ни к одной из этих функций, так как не удовлетворяется условие (5.4).

При исследовании качества САУ преобразование Фурье может использо­ваться для анализа собственных колебаний заведомо устойчивой системы, т.к. в этом случае при и условие (5.4) выполняется.

С учетом (5.3) будем иметь

(5.5)