8.8. Прохождение случайных воздействий

ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНУЮ систему

Лекция 27

План лекции:

1. Интегральное уравнение связи между процессами

на выходе и входе линейных систем.

2. Рекомендуемая литература [9].

8.8.1. Интегральное Уравнение связи

между характеристиками процессов

на выходе и входе линейных систем

Спектральная плотность и корреляцион­ная функция ошибки управления зависят от спектраль­ной плотности и корреляционной функции входного сиг­нала, а также от структуры и параметров системы. Поэтому для определения среднего квадрата ошибки следует найти корреляционную функцию или спектральную плотность ошибки по известным статистическим характеристикам входного сигнала или и характеристикам (структуре и параметрам) системы.

Чтобы решить данную задачу, необходимо рассмот­реть уравнение связи между статистическими характери­стиками на входе и выходе линейных систем.

Для этого определим связь корреляционной функции на выходе с корреляционной функцией на входе при воздействии на стационарную систему одной реали­зации случайного процесса (t).

Если задан сигнал на входе системы x(t) и известна импульсная переходная функция системы , то вы­ходную величину находят с помощью интеграла свертки:

. (8.53)

Пусть x(t) — реализация некоторой случайной функ­ции на входе системы. Тогда сигнал на выходе согласно интегралу свертки

(8.54)

Соответственно

. (8.55)

Имея в виду, что корреляционная функция на выхо­де системы может быть записана в виде выражения

.

и, подставляя сюда найденные значения (8.54) и (8.55) получим

.

Меняя порядок интегрирования, найдем

.

Выражение

представляет собой корреляционную функцию сигнала на входе системы, т. е.

.

Итак, связь корреляционной функции выходной вели­чины с корреляционной функцией входной вели­чины и импульсной переходной функцией k_yx(t), характеризующей динамические свойства системы, можно представить интегральным выражением вида

. (8.56)

В ряде случаев бывает нужно определить не корреля­ционную функцию на выходе системы, а только средний квадрат выходной величины или при т_y=0 ее дисперсию. Подставляя в выражение (8.56) значение , получим

. (8.57)

Данное выражение упрощается, если воздействие будет иметь характер белого шума, корреляционная функ­ция которого имеет вид

, (8.58)

где S =а²=const. Подставляя (8.58) в выражение (8.57), получим

. (8.59)

Согласно основному свойству -функции имеем:

(8.60)

Следовательно,

. (8.61)

Итак,

. (8.62)

Имея в виду, что k(-t)=0 , можно принять нижний предел равным нулю. Тогда

. (8.63)

Таким образом, установившееся значение дисперсии на выходе системы при подаче на вход белого шума характеризуется интегральной квадратической оценкой им­пульсной переходной функции системы. Полученное вы­ражение лежит в основе определения СКО аналитиче­ским путем и с помощью ЭВМ.

Когда случайная функция не является центрирован­ной, т. е. математическое ожидание т случайной функ­ции x(t) на входе системы отлично от нуля, то, помимо дисперсии на выходе D, необходимо найти математическое ожидание m_y по формуле

. (8.64)

Для стационарного процесса , где - передаточная функция системы при нулевой частоте.

Это означает, что математические ожидания при про­хождении случайных функций через линейные системы преобразуются как неслучайные функции.

Если на систему действует п входных сигналов x(t),..., x(t), то на основании принципа суперпозиции выходную величину можно представить выражением

. (8.65)

Соответственно корреляционную функцию выходного сигнала при всех п статистически независимых стационарных случайных сигналах (аддитивная смесь) и известных их корреляционных функциях можно найти как сумму корреляционных функций, обусловлен­ных каждой из составляющих сигналов:

(8.66)

Дисперсия для случая статистически независимых вы­ходных сигналов определяется из выражения (8.66):

, (8.67)

или

, (8.68)

т. е. дисперсия выходной величины равна сумме диспер­сий, обусловленных каждым входным воздействием в отдельности.

Если на входе САУ имеется несколько статистически связанных сигналов, то интегральное уравнение связи значительно усложняется. Появляются члены, которые содержат взаимные корреляционные функции.

Ранее приведены соотношения (8.56, 8.57, 8.63, 8.64) для определения характеристик стационарных случайных сигналов на выходе системы. В общем случае при прило­жении на вход системы с постоянными параметрами ста­ционарного случайного сигнала выходной случайный про­цесс до наступления установившегося режима будет нестационарным (математическое ожидание и дисперсия его изменяются во времени).

Определение реакции системы на случайный входной сигнал с учетом нестационарности выходного случайного процесса можно производить при известной импульсной переходной функции по следующим формулам:

;

;

,

где t и t’— значения двух моментов времени.

В случае действия белого шума дисперсия выходного сигнала определяется по формуле

.

Из (8.63) следует, что для уменьшения дисперсии выходного сиг­нала, вызванного белым шумом на входе, необходима минимизация площади под кривой квадрата импульсной переходной функции в интервале времени от 0 до . Это достигается соответствующим подбором параметров системы.

Пример 1. Система представляет собой апериоди­ческое звено, для которого импульсная переходная функция имеет вид:

,

а входной сигнал имеет постоянное математическое ожи­дание и дисперсию D_X(t)=D_X. Корреляцион­ная функция

.

Необходимо определить математическое ожидание и дисперсию на выходе апериодического звена.

Математическое ожидание m(t) можно найти из уравнения (8.64):

.

Полученное выражение сходно с выражением, опре­деляющим реакцию апериодического звена на постоян­ный входной сигнал, роль которого в данном случае иг­рает математическое ожидание m. случайного входного сигнала x(t).

Для определений корреляционной функции на выходе апериодического звена заметим, что по условиям задачи

,

.

Интегрирование корреляционной функции в пределах изменения от до можно разбить на два интервала: от до и от до . Итак,

.

После преобразований будем иметь

.

При из последнего выражения получим диспер­сию выходного сигнала

.

Как следует из данного выражения, дисперсия сиг­нала на выходе апериодического звена пропорциональна дисперсии входного сигнала, пропорциональна квадрату коэффициента преобразования звена k и является функ­цией времени. По истечении достаточно большого проме­жутка времени ( и ,но ) выраже­ние для корреляционной функции будет иметь вид

,

а установившееся значение дисперсии ()

.

Таким образом, с течением времени дисперсия выход­ного сигнала принимает постоянное установившееся зна­чение. Дисперсия на выходе тем меньше, чем больше по­стоянная времени Т апериодического звена. Следова­тельно, с помощью апериодического звена можно ос­лабить действие помехи.

Лекция 28

План лекции:

1. Спектральное уравнение связи между процессами

на выходе и входе линейных систем.

2. Определение динамических характеристик САУ

по корреляционным функциям и спектральным плотностям.

3. Рекомендуемая литература [9].