- •В.И. Родионов
- •Теория автоматического управления Конспект лекций
- •Часть 1
- •Введение ……………………………………………………….……………….…5 в.1. Значение автоматического управления и задачи курса………….………5
- •Лекция 2
- •Основные понятия и определения тау
- •Функциональные элементы сау
- •Классификация систем автоматического
- •1.3. Примеры систем автоматического управления
- •2. Математическое описание сау
- •Вынужденное движение и собственные колебания системы. Переходный и установившийся режимы
- •2.3. Передаточные функции
- •2. Типовые звенья сау.
- •2.4. Переходная характеристика и весовая функция
- •Типовые звенья систем автоматического
- •2.6. Неустойчивые и неминимально–фазовые звенья
- •1. Структурные схемы сау.
- •3. Передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы.
- •2.7. Структурные схемы сау
- •2.8. Составление и преобразование структурных схем сау
- •2.9. Передаточные функции замкнутой и разомкнутой
- •Установившиеся режимы
- •Точность сау в установившемся режиме.
- •Установившиеся ошибки следящих систем.
- •3.1. Точность сау в установившемся режиме
- •3.2. Установившиеся ошибки следящих систем
- •Частотные характеристики сау.
- •Частотные характеристики сау
- •Логарифмические амплитуднные и фазовые
- •3.5. Частотные характеристики типовых звеньев
- •3.6. Особенности частотных характеристик устойчивых
- •4. Устойчивость систем автоматического управления
- •Определение устойчивости по Ляпунову.
- •Критерий устойчивости Гурвица.
- •4.1. Общие понятия об устойчивости заданного режима
- •4.2. Определение устойчивости по а.М. Ляпунову
- •3. Критерий устойчивости гурвица
- •Таким образом, кроме положительности коэффициентов а30; а20; а10; а00
- •4.4. Критерий михайлова
- •4.5. Критерий найквиста
- •4.6. Суждение об устойчивости по лафчх
- •4.7. Выделение областей устойчивости
- •Суждение об устойчивости системы по ее линейной модели.
- •Суждение об устойчивости системы
- •5. Качество сау
- •5.1. Основные показатели качества
- •5.2. Методы построения переходных процессов
- •Преобразования Фурье имеют вид:
- •5.2.1 . Частотный метод анализа качества сау,
- •Приближенный метод построения кривой переходного процесса с помощью трапециидальных частотных
- •Лекция 14
- •5.3. Построение вещественной частотной характеристики замкнутой системы по частотным характеристикам
- •План лекции:
- •5.5. Косвенные оценки качества, связанные с распределением нулей и полюсов передаточной функции
- •5.7. Интегральные оценки качества
- •5.8. Косвенные оценки качества, связанные с видом
- •5.8.1. Анализ качества по ачх замкнутой системы
- •5.8.2. Оценка качества сау по логарифмическим частотным
- •Приближенная оценка вида переходного процесса
- •6. Динамический синтез сау
- •Методы коррекции динамических свойств сау.
- •6.1. Общие понятия синтеза сау
- •6.2. Этапы синтеза сау
- •6.3. Требования, предъявляемые к динамическим
- •Методы коррекции динамических свойств сау.
- •6.5. Методы коррекции динамических свойств системы,
- •6.5. Динамический синтез сау, основанный
- •Синтез последовательного корректирующего устройства.
- •Синтез параллельного корректирующего устройства.
- •6.6. Синтез последовательного корректирующего устройства
- •6.7. Синтез параллельного корректирующего устройства
- •7. Методы синтеза, основанные на теории
- •7.1. Уравнения системы в пространстве состояний
- •7.2. Коррекция системы в пространстве состояний
- •7.3. Прямой корневой метод синтеза
- •7.4. Прямой корневой метод синтеза сау
- •7.5. Прямой метод синтеза корректирующей обратной
- •Лекция 22
- •8.2. Основные вероятностные характеристики
- •8.2.1. Функция распределения и плотность вероятности
- •8.2.2. Математическое ожидание, дисперсия
- •8.3. Стационарные случайные процессы.
- •8.3.1. Стационарные случайные процессы
- •8.3.2. Эргодические случайные процессы
- •Спектральная плотность стационарного
- •8.5. Свойства корреляционных функций и спектральных плотностей стационарных эргодических
- •8.6. Статистические характеристики случайных
- •8.6.1. Белый шум
- •8.6.2. Корреляционная функция и спектральная плотность скорости изменения азимута
- •8.6.3. Спектральная плотность задающего воздействия системы наведения ракеты на цель
- •8.7. Экспериментальное определение корреляционных функций, спектральных плотностей и дисперсий
- •8.8. Прохождение случайных воздействий
- •8.8.1. Интегральное Уравнение связи
- •8.8.2. Спектральное уравнение связи
- •8.8.3. Определение динамических характеристик сау
- •8.9. Методы определения ошибок линейных сау,
- •8.9.1. Эквивалентное представление стационарного
- •8.9.2. Расчет флуктуационных ошибок и ошибок
- •8.9.3. Графоаналитический метод расчета
- •8.9.4. Оценка флуктуационных ошибок, обусловленных
- •8.9.5. Расчет дисперсии помехи с помощью
- •8.9.6. Вычисление среднеквадратической ошибки
2.3. Передаточные функции
Передаточной функцией элемента или системы называют отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины элемента или системы при нулевых начальных условиях.
Для определения аналитического выражения передаточной функции в общем виде достаточно, таким образом, записать уравнение (2.6) в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях по всем переменным и записать отношение .
Если при : , , то на основании (2.6) можно записать
(2.19)
В соответствии с определением выражение для передаточной функции САУ в общем виде можно записать из уравнения (2.19):
. (2.20)
Как видно из уравнения (2.20) передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Знаменатель передаточной функции
представляет собой характеристический многочлен системы, а числитель
является изображением правой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях.
В САУ степень знаменателя в выражении (2.20) всегда больше или равна степени числителя, т.е. .
В ТАУ также используют передаточную функцию ошибки , которую определяют как отношение преобразования Лапласа сигнала ошибки к преобразованию Лапласа входной величины при нулевых начальных условиях, т.е.
. (2.21)
Используя передаточные функции (2.20) и (2.21), можно определить изображения регулируемой величины и ошибки САУ по формулам:
; . (2.22)
Лекция 4
План лекции:
-
Переходная характеристика и весовая функция системы.
2. Типовые звенья сау.
-
Неустойчивые и неминимально–фазовые звенья.
-
Рекомендуемая литература [1, 4, 7].
2.4. Переходная характеристика и весовая функция
Для исследования динамики САУ в переходном режиме используются переходные характеристики и весовые функции.
Переходной характеристикой системы называют её реакцию (изменение во времени выходной величины) на единичное скачкообразное воздействие .
Весовой функцией (функцией веса) системы называют её реакцию на единичное импульсное воздействие .
В соответствии с этими определениями можно утверждать, что они связаны между собой так же, как единичное ступенчатое воздействие с дельта-функцией, т. е.
; (2.23)
. (2.24)
Зная переходную характеристику или весовую функцию, можно определить реакцию системы или звена на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях.
-
Типовые звенья систем автоматического
УПРАВЛЕНИЯ
Деление САУ на функциональные элементы не отражает динамические свойства ни системы, ни элементов. Поэтому, САУ "разбивают" на отдельные устройства в зависимости от динамических свойств этих устройств, которые называют динамическими звеньями. Типовым динамическим звеном называет звено, для которого связь между входным и выходным сигналами описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типовые звенья.
-
Усилительное звено (безынерционное) характеризуется тем, что выходной сигнал пропорционален входному :
, или ,
где - коэффициент передачи усилительного звена (если размерности коэффициентов и совпадают, то называют коэффициентом усиления).
На основании (2.25) при нулевых начальных условиях имеем
, (2.26)
или
, (2.27)
где ; .
Для определения переходной характеристики необходимо определить реакцию звена на единичное скачкообразное воздействие т.е, , если . В соответствии с этим
, (2.28)
где - передаточная функция звена.
; .
Для определения весовой функции необходимо определить реакцию звена на единичное импульсное воздействие, т.е. , если .
В соответствии с этим
, (2.29)
где ; .
Выражения (2.28) и (2.29) позволяют определить изображения переходной характеристики и весовой функции по передаточной функции звена. Так для усилительного звена на основании (2.28) и (2.29) с учётом (2.27) можно записать
; ,
т. е. .
Изложенная методика может быть применена для определения переходных характеристик и весовых функций всех типовых звеньев.
-
Интегрирующее звено характеризуется уравнением
или , (2.31)
где - постоянная времени интегрирующего звена.
Соответствующая (2.31) передаточная функция интегрирующего звена имеет вид
.
В соответствии с (2.28) и (2.29)
; ,
т. е.
. (2.33)
-
Дифференцирующее звено описывается уравнением
или , (2.34)
где .
На основании (2.34) имеем
;; ; (2.35)
т. е. . (2.36)
-
Апериодическое (инерционное) звено. Уравнение этого звена имеет вид
, или ,
где ; .
Соответственно передаточная функция определяется выражением
; (2.37)
На основании (2.37) имеем:
; (2.38)
; (2.39)
Применяя формулу обратного преобразования Лапласа, будем иметь
, (2.40)
где ; ; ; ; ; .
Тогда (2.40) примет вид
. (2.41)
Выражение для весовой функции на основании (2.39) имеет вид
. (2.42)
-
Колебательное звено. Уравнение для этого звена имеет вид
, или , (2.43)
где ; ; - коэффициент относительного демпфирования, причём для колебательного звена . Передаточная функция колебательного звена, соответствующая уравнению (2.43), имеет вид
. (2.44)
Если окажется больше единицы, то это звено называется апериодическим звеном второго порядка, а его передаточная функция записывается в виде
, (2.45)
где ; .
На основании (2.44) имеем:
; (2.46)
. (2.47)
Применяя формулы обратного преобразования Лапласа, можно показать, что выражения для переходной характеристики и весовой функции, соответствующие (2.46) и (2.47), имеют вид:
(2.48)
. (2.49)
Графики переходных характеристик и весовых функций типовых звеньев сведены в табл. 2.1.
6. Форсирующее звено 1-го порядка. Уравнение этого звена
, или , (2.50)
где ; .
Передаточная функция, соответствующая уравнению (2.50), имеет вид
. (2.51)
На основании (2.51)
,
Таблица 2.1
п/п |
Передаточная Функция типового звена |
Переходная характеристика |
Весовая функция |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
т.е.
; (2.52)
. (2.53)
-
Форсирующее звено 2-го порядка. Уравнение этого эвена
, или , (2.54)
где ; ; .
Соответствующая (2.54) передаточная функция имеет вид
. (2.55)
На основании (2.55) запишем:
; ;
; (2.56)
. (2.57)
В соответствии с определением типовых звеньев их классификация производится именно по виду дифференциального уравнения или передаточной функции. Одним и тем же уравнением могут описываться весьма разнообразные устройства (механические, электромеханические, электронные, гидравлические и др.). Один и тот же реальный элемент САУ может считаться усилительным, дифференцирующим, апериодическим, колебательным звеном в зависимости от допущений, принятых при его математическом описании, а также в зависимости от того, какие переменные принимаются за входные и выходные (перемещения, скорости, ускорения, моменты и т.д.). В общем случае передаточную функцию любого реального элемента можно представить в виде произведения передаточных функций типовых звеньев. Тем не менее, в качестве примеров типовых звеньев при определённых допущениях можно привести реальные элементы САУ.
Примерами усилительного звена могут служить электронные усилители, делители напряжения (потенциометры), безынерционные датчики углов и др.