8.8.3. Определение динамических характеристик сау

по корреляционным функциями

и спектральным плотностям

Знание корреляционных функций и спектральных плотностей сигналов, действующих на входе и выходе системы, позволяет определить характеристики системы: передаточную функцию и импульсную пере­ходную функцию.

Подставляя в выражение

значение

,

найдем

.

Изменив в последнем выражении порядок интегриро­вания, можно найти связь между корреляционной и вза­имной корреляционной функциями в виде интегрального уравнения, которое называют уравнением Винера - Хинчина:

.

Так как

,

то

.

Сравнивая полученное выражение с выражением

,

легко заметить, что у них аналогичная структура.

Таким образом, если на вход линейной системы по­дать сигнал x(t)=R(t), то на выходе этой системы дол­жен появиться сигнал y(t), совпадающий по форме с взаимной корреляционной функцией y(t)=R(t).

Если возможно определение корреляционных функ­ций и , то, решая полученное интегральное уравнение, можно найти импульсную переходную функ­цию . В тех случаях, когда входной сигнал имеет полосу частот значительно более широкую, чем полоса пропускания системы, справедливо приближенное выра­жение ,т. е. взаимная корреляционная функция может считаться оценкой импульсной переходной функции.

Для определения характеристик системы можно вос­пользоваться и знанием спектральных плотностей сигна­лов.

Стохастический процесс на входе САУ, описывае­мый обыкновенным линейным дифференциальным урав­нением с постоянными коэффициентами

,

вызывает на ее выходе стохастический процесс y(t). Если подать на вход САУ сигнал , то на выходе возникнет процесс . Под­ставим значения x=x₁ и у=у₁ в уравнение системы. Осуществляя преобразование Фурье в левой и пра­вой частях данного уравнения, его можно привести к виду

.

Учитывая, что - амплитудно-фазовая характеристика, найдем связь меж­ду спектральными плотностями и амплитудно-фазовой характеристикой системы:

.

Имея в виду, что для некоторой частоты

,

где a, b, c —коэффициенты разложения случайно­го процесса x(t) в ряд Фурье, полученные для случая, когда этот процесс представлен реализацией в интервале времени от 0 до T, для входного x(t) и выходного y(t) сигналов можно записать:

и .

Поделив правую и левую части последнего уравнения на предпоследнее, получим приближенное выражение для частного значения амплитудно-частотной характеристики системы при частоте :

.

При увеличении Т точность приведенной зависимости повышается и в пределе становится точной

.

8.9. Методы определения ошибок линейных сау,

ОБУСЛОВЛЕННЫХ СТАЦИОНАРНЫМИ

СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Лекция 29

План лекции:

1. Методы определения ошибок линейной САУ, обусловленных

стационарными случайными воздействиями.

2. Эквивалентное представление стационарного случайного

процесса в виде формирующего фильтра.

3. Расчет флуктуационных ошибок и ошибок от задающих

воздействий.

4. Рекомендуемая литература [9].

В зависимости от характера задающих воздействий и помех возможны два основных подхода при расчете ошибок САУ. Первый из них основан на предположении, что задающее воздействие x(t) — детер­минированная функция времени, а помеха f(t)— стаци­онарная случайная функция с известными статистическими характеристиками. При втором подходе задающее воздействие и помеха, а следовательно, и ошибка z(t), являются случайными функциями времени и для их определения необходимо применение статистических методов.

Рассмотрим первый метод. Задающее воздействие и помеху, действующие на САУ, а также ошибку представим в виде суммы их математических ожиданий и центрированных случайных функций:

;

;

.

Поскольку система линейна, ошибку воспроизведения можно считать состоящей из суммы составляющих оши­бок от задающего воздействия и от помехи.

Эти составляющие называют ошибкой от задающего воздействия и ошибкой от помех или флуктуационной ошиб­кой. Математические ожидания задающего воздействия и помехи можно рассматривать как регулярные функции времени. Поэтому изображения ошибок, вызванных не­случайными составляющими задающего воздействия и возмущения, равны:

и .

Эти воздействия могут быть приложены к одним и тем же или к разным элементам системы, например, x(t) — к входу, a f(t)— к объекту управления.

Математическое ожидание ошибки называют систематической ошибкой. Центрированную составляющую ошибки z (t) называют случайной ошибкой. Установившееся значение ошибки m_z(t) при медленно меняющемся воздействии как и составляющие ошибки, вызванные неслучайной составляющей, обычно определяют с помощью ряда ошибки. Определение со­ставляющих ошибок, обусловленных случайными состав­ляющими воздействий и помех, требует специальной ме­тодики (определения средних значений, дисперсий) и применительно к центрированным случайным сигналам рассматривается в данном параграфе.

Для оценки качества САУ на основе критерия мини­мума СКО определяется математическое ожидание квад­рата ошибки или средний квадрат ошибки системы

.

Положительный корень квадратный из этой величи­ны называют средней квадратической ошиб­кой

.

Средний квадрат ошибки объединяет математическое ожидание, и дисперсию и характеризует качество системы в целом.

Напомним, что для центрированных случайных сиг­налов средний квадрат ошибки равен ее дис­персии. В этом случае критерием качества иногда можно считать дисперсию ошибки в некоторый момент времени.

При статистическом анализе точности системы от­дельно определяются и суммируются алгебраически ма­тематические ожидания каждой ошибки и геометрически (под корнем квадратным) суммируются среднеквадратические ошибки в случае их независимости.

Средние квадраты ошибок, обусловленных стационар­ными случайными воздействиями, могут определяться как с помощью корреляционных функций (8.57), так и с помощью спектральных плотно­стей (8.41) соответствующих воздействий.

В первом случае ошибка от воздействия f(t) опреде­ляется подстановкой =0 и интегрированием выражения

.

Во втором случае ошибку от такого же воздействия находят интегрированием по всем частотам спектраль­ной плотности ошибки, т.е.

. (8.72)

Последнюю же определяют исходя из известной спектральной плотности входного случайного сигнала и характеристик системы. Обычно нахождение ошибок в установившемся режиме путем использования спектраль­ных плотностей оказывается более простым.

Спектральные плотности входных сигналов могут быть заданы аналитически или в виде графиков, в связи с этим имеются аналитиче­ский и графоаналитический методы. При графическом задании спектральной плотности входного сигнала ее можно ап­проксимировать и аналитическим выражением.