1.6.6. Течение степенной жидкости в плоской щели

…взять из прошлого огонь, а не пепел.

Жан Жорес

Рассматриваемое течение имеет весьма широкое распространение в различном технологическом оборудовании. Например, в формующей головке экструдера при формовании полимерных листов и пленок и т.д.

Схема течения представлена на рис. 1.13. Имеем две бесконечные параллельные пластины, расстояние между которыми 2h постоянно. Течение совершается только в направлении х. Реологические свойства жидкости описываются законом Оствальда-де Виля. Течение изотермическое, ламинарное. Трение жидкости о боковые стенки не учитываем, считая Bh, где В - ширина щели.

Требуется найти профиль скорости и расход жидкости.

Уравнение движения и реологическое уравнение для данного течения

.

Граничные условия задачи включают: условие прилипания жидкости к поверхностям канала y=h, _x=0, условие симметрии, или отсутствие касательных напряжений на оси – y=0, .

Интегрируя уравнение движения по переменной у, имеем

.

Из условия симметрии следует, что с₁=0. Возведем обе части полученного выражения в степень 1/n

,

где - постоянная

Выполнив повторное интегрирование, имеем

.

Постоянная С₂ находится из условия прилипания

. .

Таким образом, имеем следующий профиль скорости

.

Из полученной формулы видно, что в случае ньютоновской жидкости (n=1) профиль скорости параболический. В неньютоновском случае профиль описывается степенной функцией (см. рис. 1.17).

Объемный расход жидкости определяется интегралом

.

Из полученного выражения видно, что зависимость расхода от градиента давления нелинейна. В ньютоновском случае (n=1) имеем

,

где - градиент давления, - длина канала,  - избыточное давление на входе в канал (считаем на выходе канала давление атмосферное).

Полученное решение правомерно и для расчета осевого течения аномально вязкой жидкости в коаксиальном зазоре, например, при формовании трубчатых заготовок из полимеров (см. рис. 1.14). При /R<<1 кривизной канала можно пренебречь и течение в кольцевом зазоре рассматривать как течение в щели высотой =2h и шириной B=D.

Пример.

Найти давление в головке экструдера при формовании плоской полиэтиленовой пленки шириной 1 м посредством плоскощелевой головки. Зазор между губками фильеры 0,4 мм. Протяженность губок 2 см. Средняя скорость расплава 2 см/с. Реологические параметры μ_о=10³ Па^.сⁿ, n=0,7.

Решение.

Используем следующую расчетную формулу

.

Откуда

- μ_о .

Учитывая соотношение dP/dx=-ΔP/l, можем записать

Δl μ_о .

Отсюда можно найти избыточное давление в головке

.

Учитывая равенства 2h=0,4^.10^-3 м, v_c=0,02 м/с, Q=2hv_c B=0,4^.10^-3.0,02= =8^.10^-6, l=0,02 м, подставим численные значения в расчетную формулу

Δ0,02 10³ .

.

Задачи.

1. Найти давление в головке экструдера при формовании трубчатой заготовки диаметром 0,05 м. Радиальный зазор в формующей головке 4 мм. Протяженность губок 2 см. Средняя скорость расплава 2 см/с. Реологические константы расплава μ_о=10³ Па^.сⁿ, n=0,7.