2. Истечение жидкости из отверстия в дне сосуда

Знать, чтобы предвидеть,

предвидеть, чтобы обладать властью.

А.Шопенгауэр

Пусть имеем гидравлическую схему течения жидкости, представленную на рис. 1.4 а. Уровень жидкости поддерживается постоянным за счет постоянной подпитки сверху, объемным расходом V. Жидкость имеет малую вязкость, и силы инерции доминируют над силами вязкого трения.

а б

Рис. 1.4. Истечение жидкости из сосуда: а – при постоянном уровне; б – при переменном уровне.

Высота уровня жидкости h. Составим уравнение Бернулли для двух сечений - поверхности жидкости и струи (1-1 и 2-2)

.

Согласно уравнению потенциальная энергия положения жидкости (высотой h) превращается в кинетическую энергию струи. Так как уровень поверхности поддерживается постоянным, то скорость на поверхности жидкости нулевая (₀ =0), а скорость истечения определяется соотношением

,

кроме того, z₁=0, z₀=h. Пусть давление над поверхностью жидкости равно давлению на выходе из сосуда Р₀=Р₁ –т.е. сосуд открытый. Тогда получим формулу Торричелли для идеальной жидкости:

.

Скорость истечения не зависит от диаметра отверстия, а определяется лишь высотой уровня жидкости в емкости. Расчетная формула сохраняет смысл, даже если отверстие находится на боковой стенке сосуда.

Для реальной жидкости необходимо учесть потери трения на входе в насадок, поэтому необходимо ввести множитель

,

где  - коэффициент расхода (1): для отверстий в стенке =0,6; для коротких цилиндрических насадок = 0,97.

Объемный расход определяется произведением скорости на площадь сечения выходного отверстия

,

где f_отв – площадь выходного отверстия.

Поскольку полученная формула однозначно связывает расход жидкости с ее уровнем, то, контролируя уровень, можно контролировать расход жидкости. Это свойство используется для измерения расхода.

Пример.

Найти расход воды, вытекающей из емкости, если уровень жидкости h=2м, диаметр отверстия d=2 см., коэффициент расхода α=0,97.

Решение.

Используем расчетную формулу

.

Сечение отверстия

.

Подставив в формулу численные значения, получим

.

Задачи.

1. Найти диаметр сливного отверстия в емкости, если расход жидкости V=5*10^-4 м/с, высота уровня жидкости h=1 м, коэффициент расхода 0,6.

2. Как изменится уровень жидкости, если расход увеличить в два раза?

1.3. Истечение при переменном уровне

Число является универсальным ключом, одновременно открывающим доступ к истине и красоте.

Лука Пачоли.

Требуется определить продолжительность слива жидкости от уровня h₁ до h₂ (см. Рис. 1.4 б). Сосуд был предварительно заполнен и приток жидкости сверху отсутствует. Поскольку уровень жидкости непрерывно меняется, то скорость истечения будет изменяться: наибольшая в начале слива и наименьшая – в конце.

Выделим в жидкости участок толщиной dh. Составим уравнение расхода для выделенного участка. Его элементарный объем -dh_*F. С другой стороны, объём вытекающей жидкости за время d составляет

,

где F – площадь сечения сосуда, - время.

Приравняв эти выражения, получим дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее уровень жидкости и время

.

Разделим переменные и проинтегрируем с учетом начального условия

.

После несложных преобразований получим выражение для расчета продолжительности слива

.

В случае полного опорожнения сосуда необходимо положить h₂=0. При этом расчетная формула примет вид

.

Если сосуд имеет форму, отличную от цилиндрической, например, коническую, то необходимо при интегрировании учитывать функциональную зависимость площади поперечного сечения от высоты, и расчетное уравнение будет иметь другой вид.

Пример.

Сколько времени потребуется для полного опорожнения цилиндрического сосуда диаметром D=1 м, если уровень жидкости h=1 м, диаметр сливного отверстия d=1 см, коэффициент расхода α=0,6?

Решение.

Используем формулу

.

Учитывая, что сосуд и отверстие имеют круглую форму, расчетную формулу можно записать следующим образом:

.

Подставив численные значения, найдем время полного слива

.

Задачи.

1. В бензобак вертолета попала пуля. Бак имеет форму параллелепипеда размерами 0,3х1х0,5 м (высота h=0,5), он заполнен бензином наполовину. Диаметр отверстия d=9 мм. Приняв коэффициент расхода α=0,6, найти время полного опорожнения бензобака.

2. Требуется из цилиндрического сосуда изготовить водяные часы. Диаметр сосуда 10 см., начальный уровень воды 0,3 м, коэффициент расхода 0,63. Ожидаемое время полного слива 5 минут. Найти требуемый диаметр отверстия.