2.7. Теория пленочной конденсации Нуссельта

Сильное воображение порождает событие.

Монтень

В числе все уподобляется.

Секст Эмпирик

Представлено решение задачи конденсации насыщенного неподвижного пара на вертикальной поверхности. Несмотря на существенный прогресс в исследованиях процесса конденсации, теория Нуссельта сохраняет прикладное значение и методическую ценность, поскольку при внешней простоте исходных уравнений и элегантности их решения верно описывает основные физические эффекты пленочной конденсации.

М

ежду тем, в традиционном решении задачи используется интегральное уравнение материального баланса (используется скорость жидкости, усредненная по толщине пленки). Как более корректный и современный вариант решения, предложено использовать дифференциальное уравнение неразрывности. Ниже представлено решение задачи конденсации по предлагаемому варианту.

Схема течения и система координат представлены на рис. 2.7. Запишем основные уравнения для пленки конденсата (теплопроводности, движения, неразрывности)

, (2.3)

, (2.4)

, (2.5)

y=0, T=T_s, v_x=0, v_y=0, (2.6)

y=(x), T=T_*, v_x/y=0, v_y=q/r+v_x(y=), (2.7)

где T-температура; T_s, T* –температура стенки и конденсации пара; x,y- декартовы координаты; (x)-толщина пленки конденсата; =d/dx; v_x,v_y-компоненты скорости; ,-плотность и вязкость жидкости; g- ускорение свободного падения; q- плотность теплового потока; r-удельная теплота конденсации.

Согласно условию (2.7) компонента скорости v_y на поверхности пленки складывается из потока конденсата и составляющей скорости поверхности жидкости.

Решение уравнения (2.3), с учетом условий (2.6),(2.7), имеет вид

,

где T=T_*-T_s.

Согласно закону Фурье, плотность теплового потока в пленке

, (2.8)

где -коэффициент теплопроводности жидкости.

Коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенке

. (2.9)

Компонента скорости v_x определяется путем интегрирования уравнения (2.4) с учетом условий (2.6),(2.7)

. (2.10)

Найдем распределение толщины слоя жидкости с учетом увеличения ее массы за счет конденсации пара. Поскольку плотность жидкости постоянна, используем дифференциальное уравнение неразрывности. Умножим все члены уравнения (2.5) на dy и проинтегрируем в области, ограниченной линиями y=0 и y= x

.

Имеем

.

Учитывая правило Лейбница,

,

а также условия (2.6),(2.7), можем записать

. (2.11)

Отметим, что в данной задаче достаточно выполнить интегрирование уравнения неразрывности по одной переменной.

Рассматривая совместно выражения (2.8),(2.10) и (2.11), получим уравнение для толщины пленки

. (2.12)

Напомним, что по Нуссельту для пленки конденсата единичной ширины увеличение массы жидкости на участке dx обусловлено конденсацией пара, массой на его поверхности. Здесь – средняя по толщине пленки осевая скорость.

Выполнив интегрирование уравнения (2.12) с учетом условия x=0, =0, получим расчетное выражение для толщины пленки

. (2.13)

Оно совпадает с результатом Нуссельта.

Подставив выражение (2.13) в (2.9), получим выражение для местного коэффициента теплоотдачи

.

Усредненное по высоте поверхности стенки значение коэффициента теплоотдачи

, (2.14)

где , h - высота поверхности.

Расчетное выражение (2.14) совпадает с результатом Нуссельта.

Пример.

Найти средний коэффициент теплоотдачи при конденсации насыщенного пара на вертикальной поверхности. Температура поверхности Т_s=100 ^оС, температура пара при давлении 3 ата T_*=133 ^оС. Высота поверхности h=1 м. Удельная теплота конденсации r=2,17х10⁶ Дж/кг. Плотность конденсата =935 кг/м^з. Коэффициент теплопроводности воды =0,6745 Вт/(мК). Вязкость воды =0,215х10^-з Па^.с.

Решение.

Найдем разность температур =Т_*-Т_s=33 К. Далее используем формулу (2.14)

.

Задачи.

1. Как изменится коэффициент теплоотдачи, если высоту стенки уменьшить в 16 раз?

2. Как влияет на коэффициент теплоотдачи наклон стенки?

8. x

   Теплоотдача при свободном ламинарном движении вдоль вертикальной пластины

Не вокруг творцов нового шума – вокруг творцов новых ценностей вращается мир;

он вращается неслышно.

Ф.Ницше

Если ты долго смотришь в бездну, то бездна тоже смотрит в тебя.

Ф.Ницше

Пусть вертикальная пластина с неизменной температурой поверхности, равной t_c, находится в жидкости или газе. Жидкость вдали от пластины неподвижна (вынужденное течение отсутствует), температура жидкости вдали от пластины постоянна и равна t₀. Для простоты вычисления примем, что t_c>t₀ (однако полученные результаты будут справедливы и для обратного соотношения температур). При этом у пластины появляется подъемное движение нагретого слоя жидкости. Вдали от пластины скорость по-прежнему равна нулю.

y

Поместим начало координат у нижней кромки пластины, а ось Оу нормально к ее поверхности (рис. 2.8). Будем полагать, что пластина вдоль оси Oz бесконечна. Процесс стационарный.

Для упрощения решения задачи, примем следующие допущения:

1) силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами тяжести и вязкости;

2) конвективный перенос теплоты, а также теплопроводность вдоль движущегося

слоя жидкости можно не учитывать;

3) градиент давления равен нулю;

4) физические параметры жидкости (исключая плотность) постоянны; плотность является линейной функцией температуры.

Будем полагать, что температура в движущемся слое жидкости изменяется по уравнению

, (2.15)

где и ; согласно условию задачи . Уравнение (2.15) удовлетворяет граничным условиям: =_с при y=0 и =0 при y=.

Коэффициент теплоотдачи определяется уравнением

. (2.16)

Из уравнения (2.15) следует, что

, .

Подставляя значение в уравнение теплоотдачи (2.16), получаем

. (2.17)

Толщина движущегося слоя жидкости переменна по высоте и связана со скоростью движения в этом слое. Поле скоростей описывается уравнением движения. При принятых условиях течение происходит в основном в направлении оси Ох, поэтому используем уравнение движения только в проекциях на ось Ох. Для стационарного течения и с учетом ранее принятых допущений уравнение движения упрощается. В результате будем иметь

. (2.18)

При линейной зависимости плотности от температуры , где b = const. Отсюда .

Подставляя значение , согласно (2.15), в уравнение (2.18) и учитывая последнее соотношение для плотности, уравнение движения можно написать следующим образом:

,

или .

Здесь - постоянная.

Интегрирование уравнения движения дает:

,

и . (б)

Примем следующие граничные условия для скорости: как при y=0, так и при . Отметим, что, строго говоря, при скорость может быть не равна нулю. Это объясняется действием сил вязкости. Движущиеся частицы могут увлекать за собой слои жидкости, находящиеся в изотермических условиях.

При принятых граничных условиях из уравнения (б) следует, что

и .

Подставив значения и в уравнение (б) и произведя некоторые преобразования, получим следующее уравнение распределения скоростей в движущемся слое жидкости:

. (2.19)

На рис. 2.9 приведено распределение скоростей согласно уравнению (2.19). Здесь же представлена кривая температур согласно уравнению (2.15). Максимум скорости соответствует значению

. (в)

Заметим, что распределение скоростей при не удовлетворяет условию

.

Производная при имеет конечное значение. Это обстоятельство является следствием приближенности решения. Характер изменения скорости на внешней границе движущегося слоя показан пунктирной линией.

Согласно уравнению (2.19) среднеинтегральная скорость равна:

. (2.20)

Для простоты решения среднюю температуру жидкости в слое определим приближенно как среднеинтегральную по сечению слоя

. (2.21)

Таким образом, при принятых условиях величина средней температуры слоя не зависит от координаты x. Расход жидкости через поперечное сечение слоя равен:

(2.22)

и . (г)

Расход жидкости определен по плотности . При этом полагаем, что жидкость плотностью , вовлекаясь в движущийся слой, приобретает в среднем скорость .

Подставляя в (г) значение согласно уравнению (2.20), получаем:

. (д)

В движение вовлекается жидкость с первоначальной температурой t_o. В движущемся слое эта жидкость нагревается до различных температур, лежащих в интервале от t_o до t_c. Можно считать, что в среднем жидкость нагревается до температуры . На этот нагрев затрачивается теплота

. (е)

Из уравнения (е) следует, что

. (ж)

Приравнивая правые части уравнений (д) и (ж), получаем дифференциальное уравнение, описывающее изменение по высоте стенки:

. (з)

Интегрируя это уравнение, получаем:

. (и)

Постоянную интегрирования с найдем из условия, что при ,. Отсюда C= 0.

Из уравнения (и) следует, что

. (2.23)

Согласно уравнению (2.17) . Подставляя сюда найденное значение , получаем:

. (2.24)

Приведем уравнение (2.24) к безразмерному виду, для чего левую и правую части уравнения умножим на х и разделим на . После некоторых преобразований получим:

, (2.25)

где , .

Как следует из уравнения (2.25), Nu_x = f(Gr_xPr). Такой же результат дает теория подобия. Произведение чисел Gr и Рг часто называют числом Рэлея и обозначают символом Ra.

В рассматриваемом случае температуры t_c и t₀ постоянны, следо­вательно, неизменен и температурный напор .

Из уравнения (2.25) следует, что , где . При этом,

,

где — местный коэффициент теплоотдачи в точке, определяемой координатой х=1.

Пример.

Жидкость в баке нагревается от стенки с температурой t_c=90 ^оС. Температура жидкости вдали от стенки t_o=30 ^оС. Найти средний коэффициент теплоотдачи при следующих условиях: =1 м; _о=0,81х10^-6 м²/с; =804х10^-6 Па^.с; =3,21х10^-4 К^-1;=0,618 Вт/(мК); Pr=5,42.

Решение.

Предварительно вычислим число Грасгофа

Найдем коэффициент теплоотдачи на высоте по формуле (2.25). Подставим значения чисел Грасгофа и Прандтля в формулу (2.25)

Среднее значение коэффициента теплоотдачи составляет

Задачи.

1. Как влияет высота стенки на коэффициент теплоотдачи?

2. Для какого режима движения жидкости построена теория?