1.8. Сдвиговое течение вязкой жидкости в клинообразном зазоре

Я прожил жизнь. Добился признания как математик.

Никогда не испытывал к кому-либо ненависти.

Я не сделал ничего дурного, и мне будет легко умирать.

Лагранж.

Такой вид течения имеет место при нанесении составов способом

втирания в процессах нанесения покрытия. Течение вызывается не перепадом давления, а относительным движением стенок жидкостного канала. Одной из стенок обычно является сам материал, а другой – нож (ракля), пластина (рис. 1.18, а), валок (рис. 1.18, б).

Валок бывает рифленым (для тиснения поверхности покрытия), жестким, пористым, упругим. В зазоре возникают следующие эффекты: в составе возникают нормальные напряжения (обуславливают распорное давление), вдавливающие состав в материал (ткань). Возникает разогрев жидкости и повышение текучести за счет диссипации механической энергии.

Найдем характеристики простейшего сдвигового течения в сходящемся канале. Материал считается непроницаемым, несжимаемым. Расчетная схема течения представлена на рис. 1.19. Нож считаем жестким, а наносимый состав - ньютоновской жидкостью.

Начальный зазор - h₀, конечный h₁, толщина покрытия

- h_. Считаем наклонную поверхность ножа неподвижной,

а подложку движущейся поступательно с постоянной скоростью V. Необходимо найти распределение давления Р по длине зазора, толщину покрытия h_, расход жидкости. Считаем давление однородным по высоте зазора. Течение в зазоре описывается уравнением движения (течение двумерное или плоское) и уравнением неразрывности:

, , .

Граничные условия задачи. Для скорости – условие прилипания жидкости к ограничивающим поверхностям: нижней, движущейся поступательно y=0, _x = V, и верхней - наклонной, но неподвижной

y =h(x), _x=0, где h(x) – уравнение поверхности ножа или текущая высота клинообразного зазора.

Условия для давления. Давление на входе в канал и на выходе атмосферное. Без снижения общности можем положить атмосферное давление равным нулю x=0, P=0; x=l, P=0.

Учитывая, что функция Р не зависит от переменной y, дважды интегрируем уравнение движения

.

Постоянные с₁ и с₂ находим, используя граничные условия для скорости. Из первого условия имеем c₂= - V. Второе условие дает соотношение

,

откуда

.

Подставляя найденные постоянные интегрирования в выражение для скорости, получим выражение для осевой скорости

,

Разрешив это уравнение относительно скорости, находим

.

Объемный расход в любом поперечном сечении канала постоянен Q=const, но пока неизвестен. Найдем объемный расход для ножа единичной ширины путем интегрирования осевой скорости по высоте зазора

.

Отсюда получаем для давления дифференциальное уравнение первого порядка

.

Чтобы проинтегрировать это уравнение необходимо знать продольное распределение высоты зазора. Найдем функцию h(x) из геометрических соотношений. Искомая функция линейна, поэтому можем записать

h=h₀-ax.

Неизвестная постоянная «а» находится из условия x=l, h=h_1. При этом имеем h₁=h₀-al. Откуда a=(h₀-h₁)/l, где l – протяженность зоны течения.

С учетом линейной зависимости высоты зазора от продольной координаты имеем для давления уравнение

.

Разделим переменные и проинтегрируем, с учетом условия для давления, т.е. в пределах от x=0, P=0, до x, P

Выполним замену переменных: z=h₀-ax, dz =-adx. При этом имеем следующие интегралы:

;

Таким образом, давление описывается функцией

Значение расхода найдем, используя граничное условие для давления в конце зоны течения x=l, P=0. Имеем равенство

.

Откуда

.

Толщина покрытия находится из условия неразрывности. Объемный расход покрытия для полотна единичной ширины на большом удалении от ракеля определяется равенством Q=Vh_. Рассматривая совместно это выражение и ранее найденный объемный расход, находим

.

Согласно полученному выражению толщина покрытия не зависит от протяженности зоны течения l, а только от соотношения высот входного зазора и выходного.

В частности, при h₁=h₀ (нож расположен горизонтально) толщина покрытия составляет . Таким образом, в реальных условиях толщина покрытия находится в интервале .

Подъемную силу (или силу втирания) можно определить с помощью интеграла, используя найденное ранее распределение давления в зазоре (см. рис. 1.20)

.

Сила трения со стороны жидкости Т (горизонтальное усилие, необходимое для перемещения ножа) определяется интегрированием касательного напряжения, действующего на поверхность

, .

Распределение давления по длине зазора носит экстремальный характер. Можно найти максимальное давление в зазоре. Координата Р_мах находится из условия . Далее найденную абсциссу точки максимума давления необходимо подставить в выражение для давления Р(х).

Пример.

Наносится покрытие посредством наклонного ножа. Высота передней кромки ножа 5 мм, задней 0,5 мм. Найти толщину покрытия.

Решение.

Подставим численные значения в расчетную формулу

.

Задачи.

1. Как связаны угол наклона ножа и толщина покрытия?

2. Используя данные примера, найти расход наносимой жидкости, если ширина ножа 0,5 м., а скорость нанесения 0,1 м/с.