Глава 1. Моделирование отдельных задач гидродинамики

1.1. Реологические уравнения

Искусство – это я,

наука – это мы.

В.Гюго

Для описания течений материалов необходимо знать зависимость их текучих свойств от приложенных напряжений. Указанная зависимость позволяет рассчитывать потребляемую мощность (или затраты энергии) при движении жидкости.

Наиболее распространен и давно применяется ньютоновский закон течения для так называемых ньютоновских или вязких жидкостей

,

где  - касательное напряжение, - вязкость, - скорость сдвига. Часто скорость сдвига обозначают так: =.

Свойства большинства жидкостей отличаются от ньютоновского закона. Реологические свойства изучают с помощью вискозиметров.

При этом обычно организуют течение простого сдвига, сущность которого поясняется на рис. 1.1.

Реологические свойства жидкостей представляют графически с помощью «кривой течения» - зависимости касательного напряжения  от скорости сдвига  (см. рис. 1.2). Для описания аномальных свойств предложена и широко используется в инженерных приложениях «степенная жидкость» или жидкость Оствальда- де Виля, имеющая следующее уравнение

,

где n- индекс течения жидкости, _ - реологическая константа.

В зависимости от численного значения индекса течения, различают: n1 -псевдопластики (большинство полимеров, резиновые смеси и т.д.). С увеличением скорости деформации эффективная вязкость таких жидкостей снижается, n=1- ньютоновские жидкости (низкомолекулярные жидкости: вода, керосин, глицерин, спирт, но не растворы и расплавы полимеров), их вязкость постоянна в изотермических условиях течения с любой скоростью деформации, n1- дилатантные жидкости. У этих жидкостей с увеличением скорости деформации вязкость повышается. Встречаются редко. В качестве примера дилатантной среды – мокрый песок.

Кроме того, достаточно распространены вязкопластические тела Бингама, которые иногда называются средой Шведова - Бингама. К ним относятся высоконаполненные системы, например, зубная паста, краска, сметана, наполненные полимеры, резина и т.д. Реологическое уравнение для таких систем имеет вид

₀, ₀ ,

₀, =0,

где ₀-начальное напряжение сдвига, - пластическая вязкость. Течение таких систем начинается () когда напряжение сдвига превышает некоторое значение ₀ При меньших напряжениях течение отсутствует (=).

Если предел текучести равен нулю (₀=0), то модель Шведова-Бингама переходит в ньютоновскую.

Можно степенной закон записать в «ньютоновской» форме

,

где _эф= -эффективная вязкость степенной жидкости, справедливая только в узком диапазоне скоростей деформаций. Такая запись используется для упрощенного решения задач течения аномальных жидкостей в перерабатывающем оборудовании (валках, шнеках, каландрах и др.)._.

В табл. 1.1 представлены теплофизические и реологические свойства наиболее распространенных полимеров, необходимые для технологических расчетов. В скобках указаны температуры, при которых измерены параметры.

В зависимости от вязкости материала применяется различное перерабатывающее оборудование. Так, роторные смесители – для материалов с вязкостью 7-1000 Па.с, шнековые – для 2-1000 Па.с, валковые – для 10-10000 Па.с.(имеется ввиду эффективная вязкость).

В условиях переработки большинство полимеров ведет себя как аномально-вязкие (псевдопластические) жидкости. Наиболее простой зависимостью, связывающей напряжения сдвига τ с градиентом скорости деформации γ, является степенной закон или закон Освальда-де Виля

τ =μ_оγⁿ,

где μ_о- коэффициент консистентности, Па.сⁿ, n – индекс течения (зависят от типа полимера и температуры).

Таблица 1.1

Ориентировочные технологические свойства полимеров

Показатель	Резина	ПЭНП	ПЭВП	ПП	ПС	ПКА
n	0,21 (60^оС)	0,4 (190^оС)	0,47(230^оС)	0,27 (200^оС)	0,4 (260^оС)	0,8 (288^оС)
o,Паc^n	5x10^4	1,4x10^4 (190^оС)	6,6x10^3 (230^оС)	1,9x10^4	4000 (260^оС)	300 (288^оС)
,кг/м^3	1200	920	951	900	1100	970 (288^оС)
ах10^7, м^2/с	1	1,2	1,5	1	1,1	1(220^оС)
, Вт/мК	0,14	0,3	0,4	0,24	0,15	0,24 (240^oC)
С, кДж/кгК	2	2,8-3	2,5-3	3,2 (170^оС)	1,5	2,6 (240^оС)
Е, кДж/моль	34-70 (40^оС-140^оС)	50	50	43	94	44
Температура (^оС): в зоне дозирования		150-180	170-190	170-250	190-240	300
В головке		160-210	170-210	190-260	220-260	280
Средний градиент скорости при экструзии (с^-1)		50-240	50-230	55-110	50-200	50-110

При инженерных расчетах широко используют эффективную вязкость μ_эф, которая определяется так:

μ_эф=μ_oγ_с^n-1,

где γ_с – среднее значение градиента скорости сдвига (см. табл.1.1). При этом степенной закон превращается в ньютоновский

τ=μ_эфγ.

Это открывает возможность использовать ньютоновское приближение для расчетов течения материала в перерабатывающем оборудовании. Следует отметить, что вопрос о среднем значении градиента скорости сдвига γ_с достаточно сложен и μ_эф сильно отличается от параметра μ_о.

Если имеет место неизотермическое течение, то необходимо учитывать зависимость текучих свойств жидкости от температуры. Широко используется закон Аррениуса

,

где Е – энергия активации вязкого течения (см. табл. 1.1), R=8,3 Дж/моль – универсальная газовая постоянная, μ_о- вязкость (или показатель консистенции) при температуре Т_о. Используются абсолютные температуры в градусах Кельвина.

Пример.

Найти эффективную вязкость резины при ее переработке на экструдере, если реологические константы степенной модели μ_о=10⁵ Пасⁿ, n=0,25. Средний градиент скорости γ=100 с^-1.

Решение.

Используем формулу

μ_эф=μ_оγⁿ=10⁵_*100^0,25=3,16_*10⁵ Па^.с.

Задачи.

1. При исследовании на вискозиметре вязкопластической жидкости получены следующие данные: γ₁=50 с^-1, τ₁=10³ Па, γ₂=100 с^-1, τ₂=1,5*10³ Па. Найти начальное напряжение сдвига.

2. Чему равно касательное напряжение при течении степенной жидкости если: μ_о=10⁴ Пасⁿ, n=0,5, γ=200 с^-1?