1.6.1. Течение в трубе эллиптического сечения

Из всех истинных наук наши математические науки наиболее истинны и имеют первую степень достоверности и им следуют все другие естественные науки.

Лука Пачоли

Сечение трубы представляет эллипс с полуосями a и b, уравнение которого в плоскости xOy будет

.

Решение уравнения движения

,

удовлетворяющее граничному условию обращения в нуль на контуре сечения, будет

,

где, согласно уравнению движения, постоянная А определяется из условия

и будет равна

.

Здесь  - перепад давления на концах трубы, l-длина трубы.

Таким образом, получим распределение скорости в сечении эллиптической трубы в виде

.

Эпюрой векторов скорости будет служить поверхность эллиптического параболоида, кривыми одинаковой по величине скорости – изотахами – подобные друг другу эллипсы (с одинаковым отношением полуосей).

Найдем максимальную по сечению скорость на оси трубы (x=0, y=0)

,

после чего распределение скоростей может быть переписано в виде

v_max.

Определим объемный секундный расход Q сквозь сечение эллиптической трубы. Имеем

.

Среднюю скорость v_ср определим как отношение объемного секундного расхода Q к площади сечения трубы S=πab; получим

.

Средняя скорость равна половине максимальной. Эта закономерность сохраняется и в частном случае цилиндрической трубы круглого сечения.

Полагая в предыдущих формулах b=a, получим основные формулы ламинарного течения сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения. Распределение скоростей имеет вид (а – радиус трубы, x²+y²=r²)

v_max,

где .

Эпюрой скорости в этом случае является параболоид вращения с меридианным сечением в виде параболы, называемой обычно параболой Пуазейля по имени французского врача и физиолога, исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам и опубликовавшего результаты своих работ в докладах Парижской Академии наук в 1940 г.

Объемный секундный расход равен

и выражает известный закон Пуазейля.

. Расход пропорционален четвертой степени радиуса (диаметра) трубы. Это обстоятельство имеет значение в вопросах прогонки жидкостей сквозь трубы малого диаметра (например, капиллярные трубки, капиллярные кровеносные сосуды и т.п.) а также в случае движения очень вязких жидкостей.

1.6.2. Течение вязкой жидкости в плоской щели

Золото испытывается огнем, а дарование математикой.

Поговорка

Рассматриваемое течение имеет весьма широкое распространение в различном технологическом оборудовании. Например, в формующей головке экструдера при переработке полимеров, в уплотнениях и т.д.

Схема течения представлена на рис. 1.7. Имеем две бесконечные параллельные пластины, расстояние между которыми 2h постоянно. Течение совершается только в направлении оси х. Вязкость жидкости постоянна. Течение изотермическое, ламинарное. Трение жидкости о боковые стенки не учитываем, считая B h, где В - ширина щели.

Требуется найти профиль скорости и расход жидкости.

Уравнение движения для данного течения

.

Граничные условия задачи. Условие прилипания жидкости к поверхностям канала y=h, _x=0. Условие симметрии, или отсутствие касательных напряжений на оси - y=0, .

Интегрируя уравнение движения по у, имеем

.

Из условия симметрии следует, что с₁=0. Выполнив повторное интегрирование, имеем

.

Постоянная с₂ находится из условия прилипания

.

Таким образом, имеем параболический профиль скорости

.

Объемный расход жидкости определяется интегралом

или ,

где - градиент давления, - длина канала,  - избыточное давление на входе в канал (на выходе канала давление атмосферное).

Полученное решение правомерно и для расчета осевого течения вязкой жидкости в коаксиальном зазоре, например, при формовании трубчатых заготовок из полимеров (см. рис. 1.8). При /R<<1 кривизной канала можно пренебречь, и течение в кольцевом зазоре рассматривать как течение в щели, высотой =2h и шириной B=D.

Пример.

Найти давление в головке экструдера при формовании плоской полиэтиленовой пленки посредством плоскощелевой головки. Зазор между губками фильеры 0,4 мм. Протяженность губок 2 см. Средняя скорость расплава 2 см/с. Вязкость расплава 10³ Па^.с.

Решение.

Найдем среднюю скорость, выполнив интегрирование осевой скорости

.

Учитывая соотношение dP/dx=-ΔP/l, можем записать

.

Отсюда получим расчетную формулу для избыточного давления в головке

.

Учитывая равенства 2h=0,4^.10^-3 м, v_c=0,02 м/с, l=0,02 м, подставим численные значения в расчетную формулу

.

Задачи.

1. Как изменится сопротивление головки в рассмотренном примере, если зазор между губками уменьшить в два раза?

2. Как изменится сопротивление головки в рассмотренном примере, если температуру расплава понизить?