- •В. М. Шаповалов математическое моделирование процессов переноса
- •Волгоградский государственный технический университет
- •В. М. Шаповалов
- •Введение……………………………………………………………………6
- •Глава 1. Моделирование отдельных задач гидродинамики…….… 12
- •1.6.2. Течение вязкой жидкости в плоской щели………………………31
- •Глава 2. Отдельные задачи теории теплопроводности………….……79
- •2.7. Теория пленочной конденсации Нуссельта……..…………………106
- •Приложение 6. Фрагмент выпускной бакалаврской работы Шахминой е.В. На тему «Построение математической модели течения материала в резиносмесителе «Бенбери»»….………..……….154
- •Введение
- •Глава 1. Моделирование отдельных задач гидродинамики
- •1.1. Реологические уравнения
- •Истечение жидкости из отверстия в дне сосуда
- •1.3. Истечение при переменном уровне
- •1.4. Истечение высоковязкой жидкости из сосуда
- •1.5. Течение жидкости по вертикальной поверхности
- •Проинтегрируем уравнение движения
- •1.6. Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрическим и призматическим трубам
- •1.6.1. Течение в трубе эллиптического сечения
- •Лука Пачоли
- •1.6.2. Течение вязкой жидкости в плоской щели
- •1.6.3. Совместное течение двух несмешивающихся жидкостей в плоском канале (стратифицированное течение)
- •1.6.4. Аксиальное течение вязкой жидкости в кольцевом канале
- •1.6.5. Напорное течение вязкой жидкости в прямоугольном канале
- •1.6.6. Течение степенной жидкости в плоской щели
- •1.6.7. Течение среды Бингама в круглой трубе
- •1.7. Течение в кольцевом зазоре при поступательном движении внутреннего цилиндра
- •1.8. Сдвиговое течение вязкой жидкости в клинообразном зазоре
- •1.9. Течение вязкой жидкости в коаксиальном зазоре при вращении одного из цилиндров
- •1.10. Фильтрация через неподвижные пористые слои. Закон Дарси
- •1.10.1. Фильтрация через плоскую пористую стенку
- •1.10.2. Фильтрация через пористую цилиндрическую стенку
- •Глава 2. Отдельные задачи теории теплопроводности
- •2.1. Диссипативный саморазогрев жидкости в условиях простого сдвига
- •2.2. Диссипативный саморазогрев при напорном течении
- •2.3. Теплопроводность охлаждающего ребра
- •2.4. Нестационарная теплопроводность пластины
- •2.5. Нестационарная теплопроводность неограниченного цилиндра
- •Нестационарная теплопроводность шара при граничных условиях 3-го рода
- •2.7. Теория пленочной конденсации Нуссельта
- •2.9. Нестационарная массопроводность плоской стенки
- •Литература
- •Приложения
- •Соответственно, на валу второго ротора
- •Потребляемая мощность первым ротором . Вторым
- •Аналогично
- •Литература
- •400131 Волгоград, просп. Им. В. И. Ленина, 28
- •400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
2.3. Теплопроводность охлаждающего ребра
Над природой властвуют, только подчинившись ей.
Ф.Бэкон
Наблюдать море – значит размышлять.
В.Гюго
Рассматриваемая задача имеет место в лопатках турбины, края которых перегреваются протекающими газами, а теплоотвод осуществляется к основанию ребра. Кроме того, двигатели и тепловыделяющие элементы радиоаппаратуры (транзисторы, микросхемы) снабжаются радиаторами. Оребрение целесообразно со стороны теплоносителя с низким коэффициентом теплоотдачи.
Теплообмен на поверхности ребра охлаждающего радиатора осуществляется по механизму теплообмена с окружающим воздухом. Внутри ребра радиатора тепло передается за счет теплопроводности. Задача состоит в определении распределения температуры по длине ребра и величины теплового потока у основания ребра.
Пусть ребро имеет прямоугольное сечение, постоянное по длине. Коэффициент теплопроводности материала ребра и коэффициент теплоотдачи от поверхности постоянны. Тепловой поток направлен только вдоль ребра (одномерен). Теплообмен стационарен. При этом распределение температуры будет зависеть только от продольной координаты.
Расчетная схема процесса представлена на рис. 2.3. Сечение ребра ав. Длина ребра . Температура у основания ребра То. Температура окружающей среды Тс. Текущая температура Т.
Выделим участок ребра, длиной dx и составим уравнение теплового баланса для элементарного параллелепипеда abdx
Qx=dQп+Qx+dQx,
где dQп- элементарный поток тепла от боковой поверхности, Qx- осевой тепловой поток. Таким образом, имеем следующее уравнение теплового баланса
dQп +dQx=0.
Запишем потоки тепла в развернутой форме. Осевой поток тепла в теле ребра определяется законом Фурье
.
На боковой поверхности теплообмен описывается законом Ньютона
.
Подставив потоки тепла в уравнение теплового баланса, получим уравнение для температуры
.
Запишем это уравнение так
.
Для компактности выражений и удобства анализа введем безразмерные переменные и параметры
, , .
В безразмерной форме уравнение теплового баланса примет вид
.
Его решение имеет вид
=С1sh(AX)+C2ch(AX),
где sh(AX), ch(AX), - гиперболический синус и косинус.
Постоянные интегрирования найдем из граничных условий. Первое граничное условие – температура у основания ребра
х=0, Т=То,
или в безразмерных переменных
Х=0, =1.
Второе граничное условие – отсутствие теплового потока на свободном конце ребра
х=, ,
или
Х=1, .
Из первого граничного условия имеем С2=1. Соответственно, из второго граничного условия имеем
.
Следовательно, распределение безразмерной температуры по длине ребра описывается выражением
=-th(A)sh(AX)+ch(AX).
Безразмерная температура конца ребра
(Х=1)=-th(A)sh(A)+ch(A)=[(ch2(A)-sh2(A)]/ch(A)=1/ch(A).
Здесь использовалось соотношение ch2(A)-sh2(A)=1.
Расход тепла у основания ребра находится с помощью закона Фурье
.
Если подставить в это выражение дифференциал безразмерной температуры, то получим
.
Из полученного выражения видно, что при ТоТс тепловой поток отрицательный, и окружающая среда охлаждает ребро. Наоборот, при ТоТс тепловой поток положительный, и окружающая среда нагревает ребро.
Пример.
Найти отводимый поток тепла радиатором, состоящим из 10 ребер размерами ab=310 см. Длина ребер 10 см, материал – медь (λ=390 Вт/мК), коэффициент теплоотдачи α=20 Вт/м2К, температура у основания ребра
80 оС, окружающего воздуха 20 оС.
Решение.
Используем формулу
.
Предварительно найдем параметр А
Подставив в формулу, получим
.
Гиперболический тангенс находился по формуле
.
Задачи.
-
Для условий примера найти температуру на конце ребра.
-
Как изменится интенсивность теплоотвода, если радиатор изготовить из алюминия?