6.6. Что означает для системы массового обслуживания символ d/m/3?

Символ в первой позиции характеризует входной поток заявок, символ во второй позиции характеризует распределение длительностей обслуживания, в третьей – указывает число приборов в системе. Для первого и второго приняты общие обозначения:

М – означает показательный закон распределения продолжительностей между поступлениями соседних заявок в систему или длительностей обслуживания на приборах;

D – регулярный (детерминированный) характер распределения интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания;

G – произвольный характер закона распределения.

6.7. Как различаются состояния и переходы между ними в процессах гибели и размножения?

Здесь параметры и зависят только от того, из какого и в какое состояние переходит система и не зависят от времени , означает некоторое бесконечно малое дополнение к условиям перехода.

6.8. Какой смысл предельных вероятностей состояний в процессах гибели и размножения?

Если число состояний системы конечно и из любого состояния можно перейти за конечное число шагов в любое другое состояние, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в состояние .

6.9. Описать системы массового обслуживания с потерями.

Пусть имеется n приборов, на которые поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью . Известно, что длительности обслуживания на каждом из приборов подчинены показательному закону распределения с параметром , где – интенсивность обслуживания. Если при поступлении заявки оказывается, что все приборы заняты, она теряется, уходит из системы не обслуженной. Требуется найти:

• среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени (так называемую абсолютную пропускную способность СМО);

• отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок (так называемую относительную пропускную способность СМО).

Состояние системы будем различать по числу занятых приборов:

– все приборы свободны,

– занят один прибор, остальные свободны,

. . . . . . . . . . . .

– заняты все приборов.

Найдем теперь другие характеристики анализируемой СМО.

Очевидно, что . Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию, – относительная пропускная способность системы. Абсолютная пропускная способность системы, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, равна .

Важной характеристикой СМО с потерями является среднее число занятых приборов или среднее число заявок, занятых в системе .

6.10. Какой вид может иметь граф переходов между состояниями в системах массового обслуживания с потерями?

Предположим, что переходы из состояния в состояние можно представить в виде следующего графа:

При таком предположении видно, что допускаются переходы только в соседнее состояние из любых других, причем переход слева направо определяется входным потоком интенсивности . Естественно, что он не зависит от того, в каком из состояний находится система. Переход справа налево определяется интенсивностью обслуживания, а она зависит от того, сколько приборов занято в данный момент. Если занято приборов, то интенсивность переходов в раз больше интенсивности перехода из в .