8.3. Описать не менее трех из пяти классических приемов решения игры с природой.

1) Критерий Байеса. Предположим, что состояния природы – случайные события, причем вероятности состояний природы заранее известны и . В этих условиях эффективность каждого решения

.

.

2)Критерий Лапласа. Если ничего неизвестно о возможных вероятностях состояний природы, можно предложить, что каждое из состояний равновероятно, то есть .

3) Критерий Вальда. Для каждого решения находится величина

.

Наилучшим считается решение, при котором достигается . Оно является гарантированным выигрышем при любом состоянии природы.

4) Критерий Гурвица. Для каждого решения при заданной величине , вычисляется значение

.

Наилучшим считается решение, при котором достигается . Коэффициент - своеобразный показатель оптимизма игрока. Если , получаем максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма), При получаем критерий крайнего оптимизма.

5) Критерий Севиджа. Вычисляются величины риска потерь игрока при выборе им решения и состоянии природы :

,

На матрице находится величина

.

Наилучшим является решение, при котором достигается .

8.4. Что может быть математической моделью конфликтной ситуации?

Модель конфликтной ситуации называется игрой. Игра – это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких игроков, влияющих на исход игры, причем их интересы (выигрыши) различны. Противопоставление интересов порождает конфликт, совпадение интересов приводит в конечном итоге к необходимой кооперации (коалиции). Игра считается заданной, если четко сформулированы требования, определяющие:

1. возможные варианты действий игроков;

2. объем информации, которую может получать каждая из сторон о действиях другой стороны;

3. результат игры, к которому приводят действия каждой стороны.

8.5. Описать математическую модель безкоалиционной игры. Что является решением такой игры?

Предполагается, что игроки в одной игре действуют изолировано друг от друга. Игроки не обмениваются информацией и на их выбор не оказывает влияния предыстория. Каждому игроку известна его собственная функция выигрыша на множестве своих стратегий и стратегий других игроков, хотя он может не знать функций выигрыша остальных игроков.

Пусть - множество игроков в бескоалиционной игре и для каждого -го () игрока, задано множество возможных его стратегий. Процесс игры состоит в выборе каждым игроком своей стратегии . В результате каждой партии складывается набор стратегий называемый ситуацией. Для каждого игрока на множестве всевозможных ситуаций должна быть определена вещественная функция , как величина выигрыша игрока i в ситуации .

Бескоалиционной игрой называется объект .

Если для некоторой игры для всех , то она называется игрой с постоянной суммой, при получаем игру с нулевой суммой.

Ситуация в игре называется приемлемой для игрока i, если изменяя в данной ситуации свою стратегию на любую другую он не может увеличить своего выигрыша. Обозначим через новую ситуацию, полученную из ситуации s заменой i-ой координаты на координату . Тогда будет приемлемой для игрока i , если:

для любой стратегии . (8.2.1)

Ситуация (8.2.1) приемлемая для всех игроков, называется ситуацией равновесия. Решение игры состоит в том, чтобы найти ситуацию равновесия.