6.11. Описать системы массового обслуживания с ожиданием и конечной очередью.

Пусть в системе имеется приборов и мест для формирования очереди. Предположим, что поток заявок простейший с параметром и длительности обслуживания на каждом из приборов подчиняются показательному закону с параметром . Поступившая заявка или сразу начинает обслуживаться, или становится в очередь, если все приборы заняты, но имеются свободные места в очереди, или уходит из системы, если в очереди нет свободных мест.

– в системе нет ни одной заявки.

– обслуживается одна заявка (остальные свободны),

. . . . . . . . . . . .

– все приборы заняты

– заявок находится на обслуживании, одна – в очереди,

. . . . . . . . . . . .

– заявок находится на обслуживании, – в очереди.

среднее число заявок в очереди

.

6.12. Какой вид может иметь граф переходов между состояниями в системах массового обслуживания с ожиданием и конечной очередью?

Предположим, что переход из состояния в состояние изображается в виде следующего графа:

На переходах слева направо проставлены интенсивности входного потока, которые не зависят от того, в каком из состояний находится система. На дугах справа налево проставлены интенсивности длительностей обслуживания, которые прямо пропорциональны количеству занятых приборов.

6.13. Какой вид может иметь граф переходов между состояниями в системах массового обслуживания с ожиданием при неограниченном числе мест в очереди?

При

,

.

, ; .

Другие характеристики находятся предельным переходом при .

, .

6.14. Описать граф переходов между состояниями в замкнутых системах массового обслуживания.

Замкнутые СМО – это такие системы, в которых источник заявок находится в самой системе и, как правило, количество заявок ограничено.

Интенсивность потока заявок-неисправностей постоянна. .

– все станки работают,

– один станок неисправен (1 рабочий занят),

… … …

станков неисправно (все рабочих заняты),

станок неисправен, 1 станок находится в очереди на обслуживание,

… … …

– n станков неисправны, n-m станков находятся в очереди на обслуживание.

Граф состояний может иметь следующий вид:

Среднее число занятых рабочих .

– среднее число станков, обслуживаемых бригадой в единицу времени; – среднее число неисправных станков.

6.15. Описать граф переходов между состояниями в системах массового обслуживания с ограниченным временем ожидания в очереди.

1) входной поток заявок; 2) длительность обслуживания заявок; 3) поток убывания заявок из очереди.

Оказывается, если предположить, что все три потока подчиняются показательным законам распределения с параметрами соответственно, то легко получить формулы для вычисления характеристик такой СМО. Граф переходов может иметь следующий вид: