8.6. Дать определение ситуации оптимальной по Парето.

Говорят, что ситуация в игре доминирует по Парето ситуацию , если для любого и существует по крайне мере один игрок , для которого . Любую ситуацию назовем оптимальной по Парето, если она не доминируема по Парето. Оптимальные по Парето ситуации является неулучшаемыми сразу для всех игроков.

8.7. Описать ситуации в бескоалиционной игре, равновесные по Нэшу.

Значение в случае бесконечных игр или в случае конечных игр называется гарантированным выигрышем.

Ситуация в игре называется равновесной по Нэшу, если для каждого игрока и любой его стратегии, не принадлежащей выигрыш может только уменьшиться при любом поведении остальных игроков.

8.8. Описать математическую модель антагонистической игры.

Частным случаем бескоалиционной игры с нулевой суммой является так называемая антагонистическая игра, когда число игроков и . Такую игру удобно задавать в виде , где - множество стратегий первого игрока, - множество стратегий второго игрока, - функция выигрыша первого игрока (или проигрыша второго).

Если множества и - конечны, то в этом случае функцию можно определить в виде так называемой матрицы выигрышей.

Игрок должен найти такую свою стратегию, при которой его выигрыш максимален. Игрок напротив стремится минимизировать свой проигрыш. Считается, что каждый из игроков поступает наилучшим для себя способом. Вообще, оптимальной стратегией игрока называется такая его стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает ему максимально возможный средний выигрыш. Для игрока оптимальной будет такая его стратегия, которая обеспечивает ему минимально возможный средний проигрыш.

8.9. Какие величины в матричной игре являются гарантированным выигрышем для каждого из игроков?

Действуя осторожно, игрок может выбрать ту из стратегий , где достигается выигрыш

.

Значение - это нижняя цена игры. Сторона может гарантировать себе проигрыш не более, чем

.

Значение - верхняя цена игры.

8.10. Что называется ситуацией равновесия (по Нэшу) в матричной игре без седловой точки?

Ситуацией равновесия по Нэшу или решением игры называется пара смешанных стратегий, обладающих тем свойством, что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому невыгодно отступать от своей оптимальной стратегии. Выигрыш, соответствующий ситуации равновесия, называется ценой игры и обозначается .

Ожидаемый выигрыш А:

. (8.3.1)

Если оказывается, что для некоторых стратегий игрока и игрока выполняются неравенства: , при любых , то пара называется решением игры, соответствующие стратегии и - оптимальными стратегиями, а величина - ценой игры.

8.11. Описать один из возможных методов решения любой матричной игры.

,

,