Вопрос 46. Стационарный случайный процесс. Теорема Хинчина.
Стационарный случайный процесс – это такой случайный процесс, в котором совпадают распределения для двух независимых групп распределения.
Совпадают и не зависят от n,
u и моментов времени t1,
t2 ….. tn.
Тогда будут совпадать М, D и
.
;
;
нормировал,
тогда
;
;
R(u) –
коэффициент корреляции
;
R(u)=M
Стационарный случайный процесс называется
непрерывным, если выполняется
.
Теорема Хинчина: Стационарный
случайный процесс является непрерывным
тогда и только тогда, когда коэффициент
корреляции R(u)
функции представляется в виде
(1).
Вопрос 47. Понятие стохастического интеграла. Теорема о спектральном представлении.
f(t) ; a
;
(1)
Определение: Если существует предел
последовательности частичных сумм по
формуле (1), то этот предел называется
стохастическим интегралом от случайного
процесса
.
(2)
(3) Сходимость понимается в смысле, что
выполняется соотношение (3).
Определение: Введем понятие
стохастического интеграла Стиптьеса
;
(4) –стохастический интеграл.
Теорема о спектральном представлении
случайного процесса: Любой
стационарный случайный процесс
может быть представлении следующим
образом:
=
(5)
-
некоторые стационарные случайные
процессы обладающие следующими
свойствами:
1)
;
i, j=
;
и
-
непересек.
2)
;
;
Вопрос 48. Задачи математической статистики. Выборка. Статистический и вариационный ряды.
Задачи математической статистики:
Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.
1) Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.
2) Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:
а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин;
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.
Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.
Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
Выборка
Как правило, изучается совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.
Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.
Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной.
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Виды выборки: повторные и бесповторные. Повторные - это выборки, при которых отобранный объект возвращается в генеральную совокупность. Бесповторные – это выборки, при которых отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Способы отбора можно подразделить на два вида:
1.Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор;
б) простой случайный повторный отбор.
2.Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся:
а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.
После того, как была сделана выборка, полученные данные записываются в порядке возрастания. Построенный таким образом ряд называется вариационным:
3,5,3,4,7,5,1,3,1,7
1,1,3,3,3,4,5,5,7,7 - ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД