- •Вопрос 15. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.
- •Вопрос 16. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •Вопрос 17. Вероятностный смысл мат. Ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.
- •Вопрос 18. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Введем случайную величину представляющую собой отклонение от математического ожидания.
- •Вопрос 19. Дисперсия числа появления событий в независимых испытаниях. Среднее квадратическое отклонение.
- •Вопрос 20. Мат. Ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых величин.
- •Вопрос 21. Неравенство Чебышева.
- •Вопрос 22. Теорема Чебышева.
- •Вопрос 23. Теорема Бернулли.
- •Вопрос 24. Функция распределения и ее свойства.
- •Вопрос 25. Плотность распределения, ее свойства.
- •Вопрос 26. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения.
- •Вопрос 27. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Числовые характеристики св
- •Математическое ожидание (мо)
- •Мо основных св
- •Дисперсия св
- •Дисперсия основных св
- •Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин
- •Вопрос 28. Закон равномерного распределения.
- •Вопрос 29. Нормальное распределение
- •Вопрос 30. Нормальная кривая (Кривая Гаусса).
- •Вопрос 31. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал.
- •Вопрос 32. Вероятность отклонения нормально распределенной случай ной величины.
- •Вопрос 33. Показательное распределение
- •Вопрос 34. Функция надежности
- •Вопрос 35. Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины.
- •Вопрос 36. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу.
- •Вопрос 37. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины.
- •Вопрос 38. Нахождение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины.
- •Вопрос 39. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
- •Вопрос 40. Коррелированность и зависимость случайных величин.
- •Вопрос 41. Нормальное распределение на плоскости.
- •Вопрос 42. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.
- •Вопрос 43. Характеристическая функция случайной величины. Основные свойства. Формула обращения и теорема единственности.
- •Вопрос 44. Цепи Маркова. Вероятность перехода за n шагов. Эргодическая теорема Маркова.
- •Вопрос 45. Марковские процессы. Процессы гибели и размножения
- •Вопрос 46. Стационарный случайный процесс. Теорема Хинчина.
- •Вопрос 47. Понятие стохастического интеграла. Теорема о спектральном представлении.
- •Вопрос 48. Задачи математической статистики. Выборка. Статистический и вариационный ряды.
- •Вопрос 49. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
- •Вопрос 50. Понятие оценки параметров распределения. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
- •Вопрос 51. Генеральная и выборочная дисперсия. Вычисление дисперсии.
- •Вопрос 52. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •Вопрос 53. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .
- •Вопрос 54. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .
- •Вопрос 55. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.
- •Вопрос 56. Оценка вероятности биномиального распределения по относительной частоте.
- •Вопрос 57. Выборочные уравнения регрессии.
- •Вопрос 58. Выборочный коэффициент корреляции.
- •Вопрос 59. Понятие статистической гипотезы. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы
- •Вопрос 60. Критическая область. Отыскание критической области.
- •Вопрос 61. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
- •Вопрос 62. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
Вопрос 40. Коррелированность и зависимость случайных величин.
Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент ( или коэффициент корреляции) отличен от нуля; Х иY некоррелированные, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, если предположить противное, получается, что , а это прочиворечит условию, т.к. для коррелированных величин . Обратное предположение не всегда имеет место, т.е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и быть = 0. Рассмотрим пример, убедимся, что две зависимости величины могут быть некоррелированными.
Пример: Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения:
внутри эллипса
вне этого эллипса
Доказать, что X и Y – зависимые некоррелированные величины.
Решение: Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y.
внутри заданного эллипса и вне его. Так как ,то X и Y – зависимые величины. Для того, чтобы доказать некоррелированность X и Y, достаточно убедиться в том, что . Найдем корреляционный момент по формуле:
. Поскольку функция f(x) симметрична относительно оси Оу, то М(Х)=0; аналогично М(Y)=0 в силу симметрии f(y) относительно оси Ох. Следовательно, . Вынося постоянный множитель f(x,y) за знак интеграла, получается. Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетная, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, , т.е. зависимые случайные величины Х и Y некоррелированы.
Таким образом, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не следует коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще не следует независимости этих величин. Однако, из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость.
Вопрос 41. Нормальное распределение на плоскости.
Достаточно часто встречаются на практике двумерные случайные величины, распределение которых нормально. Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей двумерной случайной величины (Х,У), если
(1). Нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: а1, а2 (математические ожидания), (средние квадратические отклонения), rxy (коэффициент корреляции величин X, Y). Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Пусть Х и Y некоррелированы. Тогда, полагая в формуле (1) rxy=0, получаем
Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, а отсюда следует независимость составляющих. Справедливо и обратное утверждение. Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.