Вопрос 42. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X,Y), где X,Y – зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением величины Y в виде линейной функции величины X: , где и - параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами: наиболее употребительный из них – метод наименьших квадратов. Функцию называют «наилучшим приближением» Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание принимает наименьшее возможное значение; функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на Х. Теорема: Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид , где - коэффициент корреляции величин X и Y.

Доказательство: Введем в рассмотрение функцию двух независимых аргументов : (1). Учитывая, что М(X-m_x)= М(X-m_y)=0, М[(X-m_x)(X-m_y)]= и выполнив выкладки, получим . Исследуем функцию

на экстремум, для этого приравняем к нулю частные производные:

. Отсюда , . Можно убедиться, что при любых значениях рассматриваемая функция принимает наименьшее значение. Таким образом, линейная средняя квадратичная регрессия Y и X имеет вид или

. Коэффициент называют коэффициентом регрессии Y на Х, а прямую (2) называют прямой среднеквадратичной регрессии Y на Х. Подставив найденные значения в соотношение (1) получаем минимальное значение функции F(), равное Величину называют остаточной дисперсией случайной величины Yотносительно случайной величины Х; она характеризует величину ошибки, которую допускают при замене Y линейной функцией . При остаточная дисперсия равна 0; другими словами, при этих крайних значениях коэффициента корреляции не возникает ошибки при представлении Y в виде линейной функции от Х. Таким образом, если коэффициент корреляции , то Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью. Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии X на Y: (3) , где - коэффициент регрессии Х на Y; и остаточная дисперсия величины Х относительно Y. Если , то обе прямые регрессии совпадают как видно из уравнений (2) и (3). Из этих же уравнений следует, что обе прямые регрессии проходят через точку ( которую называют центром совместного распределения величин X и Y.

Вопрос 43. Характеристическая функция случайной величины. Основные свойства. Формула обращения и теорема единственности.

Характеристической функцией случайной величины Х называется математическое ожидание величины , где i- мнимая единица. (1)

Если Х – непрерывная случайная величина, тогда (2).

Основные свойства: 1) ; (по свойству f(x)); 2) ; (; 3) - является равномерно непрерывной на всей числовой оси; 4) если случайная величина представлена в виде Х=аy+b (где а и b- произвольные числа, а у- другая случайная величина), тогда ; 5) Z=X+Y, Х и Y –независимые. Докажем, что . ; 6) если существует несобственный интеграл (т.е. сходится), тогда (3) доказать . ;

Определить М и D случайной величины Х по характеристической функции: (4); (5);

(6)

(7) . Формула обращения. Теорема единственности.

Теорема 1(формула обращения): Если и - точки непрерывности функции распределения, а - соответствующая ей характеристическая функция, то справедливо: (1). Эта формула показывает вероятность попадания случайной величины в интервал ( ;). В формуле (1) положим

(2) Теорема единственности….