- •Вопрос 15. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.
- •Вопрос 16. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •Вопрос 17. Вероятностный смысл мат. Ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.
- •Вопрос 18. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Введем случайную величину представляющую собой отклонение от математического ожидания.
- •Вопрос 19. Дисперсия числа появления событий в независимых испытаниях. Среднее квадратическое отклонение.
- •Вопрос 20. Мат. Ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых величин.
- •Вопрос 21. Неравенство Чебышева.
- •Вопрос 22. Теорема Чебышева.
- •Вопрос 23. Теорема Бернулли.
- •Вопрос 24. Функция распределения и ее свойства.
- •Вопрос 25. Плотность распределения, ее свойства.
- •Вопрос 26. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения.
- •Вопрос 27. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Числовые характеристики св
- •Математическое ожидание (мо)
- •Мо основных св
- •Дисперсия св
- •Дисперсия основных св
- •Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин
- •Вопрос 28. Закон равномерного распределения.
- •Вопрос 29. Нормальное распределение
- •Вопрос 30. Нормальная кривая (Кривая Гаусса).
- •Вопрос 31. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал.
- •Вопрос 32. Вероятность отклонения нормально распределенной случай ной величины.
- •Вопрос 33. Показательное распределение
- •Вопрос 34. Функция надежности
- •Вопрос 35. Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины.
- •Вопрос 36. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу.
- •Вопрос 37. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины.
- •Вопрос 38. Нахождение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины.
- •Вопрос 39. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
- •Вопрос 40. Коррелированность и зависимость случайных величин.
- •Вопрос 41. Нормальное распределение на плоскости.
- •Вопрос 42. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.
- •Вопрос 43. Характеристическая функция случайной величины. Основные свойства. Формула обращения и теорема единственности.
- •Вопрос 44. Цепи Маркова. Вероятность перехода за n шагов. Эргодическая теорема Маркова.
- •Вопрос 45. Марковские процессы. Процессы гибели и размножения
- •Вопрос 46. Стационарный случайный процесс. Теорема Хинчина.
- •Вопрос 47. Понятие стохастического интеграла. Теорема о спектральном представлении.
- •Вопрос 48. Задачи математической статистики. Выборка. Статистический и вариационный ряды.
- •Вопрос 49. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
- •Вопрос 50. Понятие оценки параметров распределения. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
- •Вопрос 51. Генеральная и выборочная дисперсия. Вычисление дисперсии.
- •Вопрос 52. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •Вопрос 53. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .
- •Вопрос 54. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .
- •Вопрос 55. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.
- •Вопрос 56. Оценка вероятности биномиального распределения по относительной частоте.
- •Вопрос 57. Выборочные уравнения регрессии.
- •Вопрос 58. Выборочный коэффициент корреляции.
- •Вопрос 59. Понятие статистической гипотезы. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы
- •Вопрос 60. Критическая область. Отыскание критической области.
- •Вопрос 61. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
- •Вопрос 62. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
Вопрос 17. Вероятностный смысл мат. Ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.
X |
x1 |
x2 |
… |
xk |
|
m1 |
m2 |
|
mk |
приняло значение раз.
- среднее арифметическое случайной величины.
значение в скобках – относительная частота появления.
Как будит доказано далее при большом (число испытаний) значения стремятся к их вероятностям.
Следовательно математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому всех наблюдаемых значений и чем больше значений тем ближеоно к среднему значению.
- количество испытаний
- испытания, событие
- вероятность одинакова
теорема: математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равна произведению.
- случайная величина равная числу появления события в независимых испытаниях.
- случайная величина равная числу появления события в отдельно взятом ом испытании.
xi |
0 |
1 |
p |
1-p |
p |
Вопрос 18. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Введем случайную величину представляющую собой отклонение от математического ожидания.
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
p |
p1 |
p2 |
|
pn |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
- центрированная случайная величина. - центрированная математическая величина. Докажем что математическое ожидание отклонения равно 0.
Так как математическое ожидание равно 0 как положительное так и отрицательное значение и тем самым они взаимнопогашаются. Будем рассматривать математическое ожидание квадрата отклонения.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения.
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
теорема:
Теорема доказана.
Свойства дисперсии:
1) от константы.
2)
3) Дисперсия двух независимых величин равна сумме соответствующих дисперсий.
4) (из первого и второго свойства)
5)
Вопрос 19. Дисперсия числа появления событий в независимых испытаниях. Среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия числа появления событий в независимых испытаниях.
вероятность появления события в каждом испытании одинаково.
- случайная величина равная числу появления события в независимых испытаниях.
Среднее квадратическое отклонение.
- среднеквадратическое отклонение
свойство:
теорема 1:
Пусть даны независимые величины, причём случайные величины одинаково распрелелены.
Тогда математическое ожидание их среднего арифметического где - математическое ожидание каждой из случайных величин.
теорема 2:
теорема 3:
- число случайных величин