9 Степени свободы (механика)

В "механике, степени свободы — это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая движение и/или положение тела или системы тел. Это фундаментальное понятие применяется в "теоретической механике, %BD"теории механизмов и машин, "машиностроении, C"авиационной промышленности, "робототехнике и других областях.

• Твёрдое тело, движущееся в трёхмерном пространстве, максимально может иметь шесть степеней свободы: три "поступательных и три вращательных.

• Автомобиль, если его рассматривать как твёрдое тело, перемещается по плоскости, а точнее говоря, по некоторой двумерной поверхности (в двумерном пространстве). Он имеет три степени свободы (одну вращательную, и две поступательные).

• Поезд вынужден перемещаться по рельсовому пути, и поэтому он имеет только одну степень свободы.

Движение и размерности

В общем случае твёрдое тело в d измерениях имеет d(d + 1)/2 степеней свободы (d поступательных и d(d −1)/2 вращательных).

Упругие или деформируемые тела можно рассматривать как систему множества мельчайших частиц (бесконечное число степеней свободы; в этом случае систему часто приближённо рассматривают как имеющую ограниченное число степеней свободы.

Если основным объектом анализа является движение, вызывающее большие перемещения (например, движение спутников), то для упрощения расчётов деформируемое тело приближённо рассматривают как абсолютно твёрдое.

Системы тел

Система из нескольких тел может иметь в целом такое количество степеней свободы, которое является суммой степеней свободы составляющих систему тел, за вычетом тех степеней свободы, которые ограничиваются внутренними связями. Механизм, содержащий несколько соединённых тел, может иметь количество степеней свободы большее, чем имеет одно свободное твёрдое тело. В этом случае термин «степени свободы» используется для обозначения количества параметров, необходимых для точного определения положения механизма в пространстве.

Специфическим типом механизма является открытая C"кинематическая цепь, в которой жёсткие звенья имеют подвижные соединения, способные обеспечить одну степень свободы (если это петлевой %80"шарнир или скользящее соединение), или две степени свободы (если это цилиндрическое соединение). Подобные цепи используются в основном в "робототехнике, "биомеханике и для космических механизмов.

Рука человека имеет 7 степеней свободы.

Робот, имеющий механизм, способный контролировать все 6 B"физических степеней свободы, называют "голономным. Если робот имеет меньшее количество контролируемых степеней свободы, то его называют неголономным. Робот или другой объект с количеством контролируемых степеней свободы бо́льшим, чем количество физических степеней свободы, называют избыточным.

10 Момент силы

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) —%29"векторная "физическая величина, равная произведению %80"радиус-вектора, проведенного от C"оси "вращения к точке приложения "силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое %29"тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в "сопротивлении материалов).

Общие сведения

В "физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе %98"СИ единицами измерения для момента силы является F%29"ньютон-%80"метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах "Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где  — сила, действующая на частицу, а  —%80"радиус-вектор частицы.

Момент импульса

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество "вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько "массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой C"скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно "вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно - если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это %80"псевдовектор, а момент импульса относительно оси —%80"псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Определение

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется "векторным произведением её %80"радиус-вектора и %81"импульса:

где  — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта,  — импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще %29"распределенной системы это может быть записано как где - импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе %98"СИ момент импульса измеряется в единицах C"джоуль-"секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его C"аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

.

• Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется "векторным произведением, он является %80"псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его F%29"проекцию на F"ось вращения как %80"скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где  — угол между и , определяемый так, чтобы %82"поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем в виде , где  — составляющая радиус-вектора, C"параллельная вектору импульса, а  — аналогично, C"перпендикулярная ему. является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить еще два выражения для .